《2025年名校课堂九年级数学下册沪科版安徽专版》

6. 如图，已知AB是⊙O的直径，AB = 4，点C在线段AB的延长线上，点D在⊙O上，连接CD，且CD = OA，OC = 2√2. 求证：CD是⊙O的切线.

答案： 证明：连接$OD$。由题意，得$CD = OD = OA=\frac{1}{2}AB = 2$，$OC = 2\sqrt{2}$，所以$OD^{2}+CD^{2}=2^{2}+2^{2}=(2\sqrt{2})^{2}=OC^{2}$。所以$\triangle OCD$为等腰直角三角形，$\angle ODC = 90^{\circ}$。所以$OD\perp CD$。又因为$OD$是$\odot O$的半径，所以$CD$是$\odot O$的切线。

7.（2024·蚌埠模拟）如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，CD⊥AB，E是以BD为直径的⊙O上一点，且AE = AC，连接BE，DE，已知AD = 1，AC = √5.
（1）求⊙O的周长；
（2）求证：AE是⊙O的切线.

答案： 解：
(1) 因为$CD\perp AB$，所以$\angle ADC = 90^{\circ}$，因为$\angle ACB = 90^{\circ}$，所以$\angle ADC=\angle ACB$。又因为$\angle CAD=\angle BAC$，所以$\triangle ACD\sim\triangle ABC$。所以$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$，因为$AD = 1$，$AC=\sqrt{5}$，所以$\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{AB}$。所以$AB = 5$。所以$BD = AB - AD = 4$。所以$\odot O$的周长为$4\pi$。
(2) 证明：连接$OE$，由
(1)得，$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$。因为$AE = AC$，所以$\frac{AD}{AE}=\frac{AE}{AB}$。又因为$\angle DAE=\angle EAB$，所以$\triangle ADE\sim\triangle AEB$。所以$\angle AED=\angle ABE$。因为$BD$是$\odot O$的直径，所以$\angle BED = 90^{\circ}$。所以$\angle ABE+\angle BDE=\angle AED+\angle BDE = 90^{\circ}$。因为$OD = OE$，所以$\angle BDE=\angle OED$，所以$\angle OED+\angle AED = 90^{\circ}$，即$\angle AEO = 90^{\circ}$。所以$AE\perp OE$。又因为$OE$是$\odot O$的半径，所以$AE$是$\odot O$的切线。

8.（2024·亳州一模）如图，OA是⊙O的半径，过点A作⊙O的切线AB，OC//AB，∠OBC = ∠OBA.
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若OC = 3AB，求cosC的值.

答案： 解：
(1) 证明：过点$O$作$OE\perp BC$于点$E$。因为$AB$是$\odot O$的切线，所以$OA\perp AB$。因为$\angle OBC=\angle OBA$，所以$OA = OE$。所以$OE$是$\odot O$的半径。所以$BC$是$\odot O$的切线。
(2) 因为$AB$，$BC$是$\odot O$的切线，所以$AB = BE$。因为$AB// OC$，所以$\angle ABO=\angle BOC$。因为$\angle ABO=\angle OBC$，所以$\angle BOC=\angle OBC$。所以$BC = OC$。因为$OC = 3AB$，所以$BC = 3BE$。因为$BC = CE + BE = CE+\frac{1}{3}BC$，所以$CE=\frac{2}{3}BC$。所以$\cos C=\frac{CE}{OC}=\frac{CE}{BC}=\frac{2}{3}$。