《2025年名校课堂九年级数学下册沪科版安徽专版》

10.（2024·安徽模拟）如图，在等边三角形ABC
中，CD为边AB上的高，M是直线CD上的
一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆
时针旋转60°得到线段BN，连接DN．若
AB = 5，则在点M的运动过程中，线段DN
的长的最小值是 （ ）
A. 2
B. $\frac{5}{4}$
C. $\frac{5}{2}$
D. $\frac{5\sqrt{3}}{2}$

答案： B

11. 如图，在矩形ABCD中，BC = 4，将矩形ABCD
绕点C顺时针旋转得到矩形A'B'C'D'．当点
B'恰好落在边AD上时，旋转角为α，连接
BB'．若∠AB'B = 75°，求旋转角α及AB
的长．

答案： 解：四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC.
∴∠CBB' = ∠AB'B = 75°. 由旋转的性质，得CB = CB'，
∴∠CB'B = ∠CBB' = 75°.
∴∠BCB' = 180° - 75° - 75° = 30°，即旋转角α = 30°. 过点B'作B'E⊥BC于点E，则AB = B'E = $\frac{1}{2}$CB' = 2.

12. 如图，点E为正方形ABCD外一点，∠AEB =
90°，将Rt△ABE绕点A按逆时针方向旋转
90°得到△ADF，DF的延长线交BE于点H．
（1）试判断四边形AFHE的形状，并说明
理由；
（2）已知BH = 7，BC = 13，求DH的长．

答案： 解：
(1)四边形AFHE是正方形，理由如下：
∵Rt△ABE绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADF，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF.
∴∠BAE = ∠DAF，∠AEB = ∠AFD = 90°，AE = AF.
∴∠AFH = 90°. 又
∵∠DAF + ∠FAB = 90°，
∴∠BAE + ∠FAB = 90°.
∴∠FAE = 90°.
∴四边形AFHE是矩形. 又
∵AE = AF，
∴四边形AFHE是正方形.
(2)设AE = x.
∵四边形AFHE和四边形ABCD是正方形，
∴AE = EH = FH = x，BC = AB = 13. 在Rt△AEB中，AB² = AE² + BE²，又
∵BH = 7，
∴BE = x + 7.
∴13² = x² + (x + 7)²，解得x = 5.
∴BE = 5 + 7 = 12. 由旋转的性质，得DF = BE，
∴DH = DF + FH = 12 + 5 = 17.

13. 如图，将正方形纸片ABCD绕着点A按逆
时针方向旋转30°后得到正方形AB'C'D'．
若AB = 2$\sqrt{3}$ cm，则图中阴影部分的面积为
（ ）
A. 6 cm²
B.（12 - 6$\sqrt{3}$）cm²
C. 3$\sqrt{3}$ cm²
D. 4$\sqrt{3}$ cm²

答案： D