《2025年名校课堂九年级数学下册沪科版安徽专版》

9. 下面就是欧拉发现的一个定理：在△ABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其中外心和内心，则OI² = R² - 2Rr. 若△ABC的外接圆的半径为5 cm，内切圆的半径为2 cm，则△ABC的外心与内心之间的距离为 ______cm.

答案： $\sqrt{5}$

10. 如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线与△ABC的外接圆相交于点D，连接BD，BE，CE. 若∠CBD = 32°，则∠BEC的度数为 ______.

答案： 122°

11. ⊙O为四边形ABCD的内切圆，若AB = a，BC = b，CD = c，则AD = __________.

答案： $a + c - b$

12. 如图，⊙O是以坐标轴原点O为圆心，1为半径的圆，∠AOB = 45°，点P在x轴正半轴上运动，过点P且与OB平行的直线与⊙O有公共点，则OP的取值范围是 ____________.

答案： $0 ＜ OP \leq \sqrt{2}$

13. （12分）如图，从点P向⊙O引两条切线PA，PB，切点分别为A，B，AC为弦，BC为⊙O的直径. 若∠P = 60°，PB = 2 cm，求AC的长.

答案： 解：连接AB.
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA = PB，∠PBC = 90°.
∵∠P = 60°，
∴△ABP是等边三角形.
∴AB = PB = 2 cm，∠PBA = 60°.
∴∠ABC = 30°.
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC = 90°.
∴AC = AB·tan30° = 2×$\frac{\sqrt{3}}{3}$ = $\frac{2\sqrt{3}}{3}$(cm).

14. （13分）如图，△ABC是直角三角形，∠A = 90°，AB = 6，AC = 8.
（1）请画出△ABC的内切圆，圆心为O；
（2）请计算出⊙O的面积.

答案： 解：（1）图略. （2）设△ABC内切圆的半径为r，
∵在Rt△ABC中，∠A = 90°，AB = 6，AC = 8，
∴BC = $\sqrt{6^{2} + 8^{2}}$ = 10.
∴$S_{\triangle ABC}$ = $\frac{1}{2}$AC·AB = $\frac{1}{2}$×8×6 = 24，AB + AC + BC = 24.
∵$S_{\triangle ABC}$ = $\frac{1}{2}$(AB + AC + BC)r，
∴r = 2$S_{\triangle ABC}$÷(AB + AC + BC) = 2×24÷24 = 2，⊙O的面积为$\pi r^{2}$ = 4$\pi$. 即⊙O的面积为4$\pi$.

15. （15分）如图，已知点C是以AB为直径的半圆上一点，D是AB延长线上一点，过点D作BD的垂线交AC的延长线于点E，连接CD，且CD = ED.
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若tan∠DCE = 2，BD = 1，求⊙O的半径.

答案： 解：（1）证明：连接OC，
∵CD = DE，OC = OA，
∴∠DCE = ∠E，∠OCA = ∠OAC.
∵ED⊥AD，
∴∠ADE = 90°，∠OAC + ∠E = 90°.
∴∠OCA + ∠DCE = 90°.
∴∠DCO = 90°.
∴OC⊥CD.
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线. （2）
∵∠DCE = ∠E，
∴在Rt△EDA中，tanE = tan∠DCE = $\frac{AD}{ED}$ = 2. 设⊙O的半径为x，则OA = OB = x，
∵BD = 1，
∴OD = x + 1，AD = 2x + 1.
∴$\frac{2x + 1}{ED}$ = 2.
∴ED = x + $\frac{1}{2}$ = CD. 在Rt△OCD中，$OC^{2} + CD^{2} = OD^{2}$，
∴$x^{2} + (x + \frac{1}{2})^{2} = (x + 1)^{2}$，解得x = $\frac{3}{2}$或x = -$\frac{1}{2}$(舍去).
∴⊙O的半径为$\frac{3}{2}$.