《2025年名校课堂九年级数学下册沪科版安徽专版》

1.（2023·合肥模拟）如图，AB是半圆O的直径，AC与半圆O相切于点A，BC交半圆O于点D.若∠C = α，则∠ODC的度数为 （ ）

A. 180° - α
B. 180° - 2α
C. 90° - α
D. 90° + α

答案： D

2.（2023·北京）如图，OA是⊙O的半径，BC是⊙O的弦，OA⊥BC于点D，AE是⊙O的切线，AE交OC的延长线于点E. 若∠AOC = 45°，BC = 2，则线段AE的长为______.

答案： $\sqrt{2}$

3. 如图，已知□OABC，⊙O恰好经过B，C两点，且与边AB相切于点B，延长AO交⊙O于点D，连接BD，OB，则∠AOB的度数为______.

答案： $45^{\circ}$

4.（2024·合肥45中模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且CF是⊙O的切线.
（1）求证：∠DCF = ∠CAD；
（2）若CF = 4√2，DF = 4，求⊙O的半径.

答案： 解：
(1) 证明：连接$OC$。因为$AD$是$\odot O$的直径，所以$\angle ACD = 90^{\circ}$，即$\angle OCD+\angle OCA = 90^{\circ}$。因为$CF$是$\odot O$的切线，所以$\angle OCF = 90^{\circ}$，即$\angle DCF+\angle OCD = 90^{\circ}$。所以$\angle OCA=\angle DCF$。因为$OC = OA$，所以$\angle CAD=\angle OCA$。所以$\angle DCF=\angle CAD$。
(2) 由
(1)得，$\angle OCF = 90^{\circ}$，所以$OC^{2}+CF^{2}=OF^{2}$。所以$OC^{2}+(4\sqrt{2})^{2}=(OC + 4)^{2}$，解得$OC = 2$。所以$\odot O$的半径为$2$。

5.（2023·合肥一模）如图1，AB为⊙O的直径，BC为弦，过圆心O作OD⊥BC于点D，点E为AB延长线上一点，CE是⊙O的切线.
（1）求证：∠BCE = ∠BOD；
（2）如图2，取⌢AC的中点P，连接OP，AP. 若AB = 13，BC = 5，求弦PA的长.

答案： 解：
(1) 证明：连接$OC$，因为$CE$是$\odot O$的切线，所以$OC\perp CE$，所以$\angle OCE = 90^{\circ}$，所以$\angle OCB+\angle BCE = 90^{\circ}$。因为$OC = OB$，所以$\angle OCB=\angle OBC$。因为$OD\perp BC$，所以$\angle BOD+\angle OBC = 90^{\circ}$。所以$\angle BCE=\angle BOD$。
(2) 连接$AC$交$OP$于点$F$，因为$AB$是$\odot O$的直径，所以$\angle ACB = 90^{\circ}$。所以$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{13^{2}-5^{2}} = 12$。因为$P$为$\overset{\frown}{AC}$的中点，所以$OF\perp AC$，所以$AF = CF = 6$。所以$OF=\frac{1}{2}BC=\frac{5}{2}$。所以$PF = OP - OF=\frac{13}{2}-\frac{5}{2}=4$。在$Rt\triangle APF$中，$AP=\sqrt{AF^{2}+PF^{2}}=\sqrt{6^{2}+4^{2}} = 2\sqrt{13}$。