《2025年家庭作业八年级数学上册北师大版》

1. 到目前为止勾股定理的证明方法已有多种，有些证法融几何知识与代数知识于一体，完美地体现了数形结合的魅力。下面图形可以用来验证勾股定理的有(C)。



A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

答案： 1.C

2. 如图，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽4m，高3m，长20m，棚的斜面用塑料布遮盖可透过阳光，不计墙的厚度，则阳光透过的最大面积为100m²。

答案： 2.100

3. 如图，为修通铁路凿通隧道AC，量出∠C = 90°，AB = 5km，BC = 4km，则隧道AC的长度为多少？

答案： 3.解在$Rt\triangle ABC$中，由勾股定理，得$AC^2 = AB^2 - BC^2 = 5^2 - 4^2 = 3^2$，所以$AC = 3 km$，即隧道AC的长度为3 km。

4. “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理。图中所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形拼成的。设直角三角形的两条直角边长分别为m，n(m ＞ n)。若小正方形的面积为5，(m + n)² = 21，则大正方形的面积为(B)。

A.12
B.13
C.14
D.15

答案： 4.B

5. 如图1，在某居民小区内有一块近似长方形的草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，仅仅少走了几步路，却踩伤了花草。草坪简图为图2，经过测量AC = 3m，AB = 4m，经计算可知，走“捷径”仅仅少走了4步。(假设1m为2步)

答案： 5.4

6. 如图，E为AC上一点，AC ⊥ BC，AC ⊥ AD，AB = DE，AB，DE交于点F，且AB ⊥ DE。
（1）试说明BC + CE = AD；
（2）连接BD，BE，若设BC = a，AC = b，AB = c，利用此图验证勾股定理。

答案：
6.解
(1)如图，
因为$\angle DAE = \angle ACB = 90°$，$AB \perp DE$，

所以$\angle 1 + \angle 2 = 90°$，$\angle 3 + \angle 2 = 90°$，所以$\angle 1 = \angle 3$。
在$\triangle ABC$和$\triangle DEA$中，$\begin{cases} \angle ACB = \angle DAE, \\ \angle 1 = \angle 3, \\ AB = DE, \end{cases}$
所以$\triangle ABC \cong \triangle DEA$ (AAS)，所以$AC = DA$，$BC = EA$。又因为$AC = CE + EA$，所以$DA = CE + EA = CE + BC$。
(2)因为$BC = a$，$AC = b$，$AB = c$，$S_{四边形ADBE} = S_{\triangle ADE} + S_{\triangle BDE} = \frac{1}{2}DE \cdot AF + \frac{1}{2}DE \cdot BF = \frac{1}{2}DE \cdot AB = \frac{1}{2}c^2$，$S_{四边形ADBE} = S_{\triangle ABE} + S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}b^2$，
所以$\frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}b^2 = \frac{1}{2}c^2$，所以$a^2 + b^2 = c^2$。