《2025年家庭作业八年级数学上册北师大版》

知识点1 非有理数
满足等式$a^{2}=2$的$a$既不是整数，也不是分数，所以$a$不是有理数。但在现实生活中确实存在不是有理数的数。
拓展 整数的平方是整数，分数的平方是分数。有些数既不是整数的平方，也不是分数的平方，也就是说它们既不是整数也不是分数，即它们不是有理数，而这些数又是现实生活中客观存在的数。

答案： 有理数

知识点2 无限不循环小数
事实上，$a = 1.41421356\cdots$，$b = 2.236067977\cdots$，它们都不是有理数，都是无限不循环小数。

答案： 无限不循环

【例1】已知$Rt\triangle ABC$的直角边$AC$，$BC$的长分别是$2cm$，$3cm$，那么它的斜边$AB$的长满足什么条件？你能用一个整数或分数表示出来吗？
[听课笔记]
________________________
________________________
________________________
________________________
________________________
________________________
名师点拨 判断一个数是不是有理数的关键是看这个数能否用一个整数或分数表示。

答案： 解 根据勾股定理，得AB²=AC²+BC²=2²+3²=13。因为13既不是一个整数的平方，也不是一个分数的平方，所以AB的长不能用一个整数或分数表示出来。

【对点训练1】满足下列条件的数字$a$不是有理数的是(C)。

A.$2a + 5 = 8$
B.$a^{2}=0.16$
C.$a^{2}=7$
D.$a^{2}=9$

答案： C 解析 对于选项A，由2a+5=8，得a=1.5，是有理数；对于选项B，因为(±0.4)²=0.16，所以a=±0.4，是有理数；对于选项C，a²=7中的a既不是整数也不是分数，即不是有理数；对于选项D，因为(±3)²=9，所以a=±3，是有理数。故选C。

【例2】设面积为$7$的正方形的边长为$x$，请你回答下列问题。
(1)$x$的整数部分是多少？
(2)$x$是有理数吗？请简要说明理由。
[听课笔记]
________________________
________________________
________________________
________________________
________________________
________________________
名师点拨 要估算无限不循环小数的近似值，第一步应该确定被估算无限不循环小数的整数的取值范围；第二步以较小整数逐步开始加$0.1$（或以较大整数逐步开始减$0.1$），并求其平方确定被估算数的十分位……以此继续下去，可以求出无限不循环小数的近似值。

答案： 解 根据题意，得x²=7。当2＜x＜3时，4＜x²＜9；当2.6＜x＜2.7时，6.76＜x²＜7.29；当2.64＜x＜2.65时，6.9696＜x²＜7.0225；当2.645＜x＜2.646时，6.996025＜x²＜7.001316；……根据上述计算，可以得到：
(1)x的整数部分为2；
(2)x不是有理数。因为没有一个整数的平方等于7，也没有一个分数的平方等于7。由上面的计算知，x是无限不循环小数。