《2025年家庭作业八年级数学上册北师大版》

答案： 积 $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ 商 $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫作最简二次根式。

答案： 分母 最简

【例1】化简：
(1)$\sqrt{36 × 7}$；(2)$\sqrt{\frac{25}{144}}$；(3)$\sqrt{75}$；(4)$\sqrt{\frac{1}{6}}$。
[听课笔记]解(1) $\sqrt{36 × 7} = \sqrt{36} × \sqrt{7} = 6\sqrt{7}$。(2) $\sqrt{\frac{25}{144}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{144}} = \frac{5}{12}$。
☑名师点拨 1. 利用积的算术平方根的性质对二次根式进行化简，使结果不含能开得尽方的因数或因式。
2. 利用商的算术平方根的性质对二次根式进行化简，使结果分母中不含有根号。

答案：
(1) $\sqrt{36 × 7} = \sqrt{36} × \sqrt{7} = 6\sqrt{7}$。
(2) $\sqrt{\frac{25}{144}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{144}} = \frac{5}{12}$。
(3) $\sqrt{75} = \sqrt{25 × 3} = 5\sqrt{3}$。
(4) $\sqrt{\frac{1}{6}} = \sqrt{\frac{1 × 6}{6 × 6}} = \frac{\sqrt{1 × 6}}{\sqrt{6 × 6}} = \frac{\sqrt{6}}{6}$。

【对点训练1】化简：
(1)$\sqrt{1\frac{24}{25}}$；(2)$\sqrt{200}$；(3)$\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{5}}$；
(4)$\sqrt{\frac{9z^4}{x^2y^3}} (x ＞ 0, y ＞ 0, z ＞ 0)$。

答案：
(1) $\sqrt{1 \frac{24}{25}} = \sqrt{\frac{49}{25}} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{25}} = \frac{7}{5}$。
(2) $\sqrt{200} = \sqrt{2 × 100} = \sqrt{2} × \sqrt{100} = 10\sqrt{2}$。
(3) $\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{5}} = \sqrt{\frac{3}{10}} = \frac{\sqrt{3 × 10}}{\sqrt{10 × 10}} = \frac{\sqrt{30}}{10}$。
(4) $\sqrt{\frac{9z^4}{x^2y^3}} = \frac{\sqrt{9z^4}}{\sqrt{x^2y^3}} = \frac{\sqrt{9z^4} \cdot y}{\sqrt{x^2y^3} \cdot y} = \frac{3z^2\sqrt{y}}{xy^2}$。

【例2】下列各式中，是最简二次根式的是(C)。

A.$\sqrt{\frac{1}{2}}$
B.$\sqrt{12}$
C.$\sqrt{6}$
D.$\sqrt{a^3} (a ＞ 0)$
[听课笔记]解析 选项A，由于$\sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$，所以$\sqrt{\frac{1}{2}}$不是最简二次根式，因此选项A不符合题意；选项B，由于$\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$，所以$\sqrt{12}$不是最简二次根式，因此选项B
☑名师点拨 在判断最简二次根式的过程中要注意：(1)在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；(2)在二次根式的被开方数中的每一个因式(或因数)中，如果幂的指数等于或大于2，也不是最简二次根式。

答案： C 解析 选项A，由于$\sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$，所以$\sqrt{\frac{1}{2}}$不是最简二次根式，因此选项A不符合题意；选项B，由于$\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$，所以$\sqrt{12}$不是最简二次根式，因此选项B
不符合题意；选项C，$\sqrt{6}$是最简二次根式，因此选项C符合题意；选项D，$\sqrt{a^3} = a\sqrt{a}$，所以$\sqrt{a^3}$不是最简二次根式，因此选项D不符合题意。故选C。