《2025年家庭作业八年级数学上册北师大版》

【例2】写出下列各题中$s$与$t$之间的关系式，并判断：$s$是否为$t$的一次函数？是否为$t$的正比例函数？
(1)汽车以$40\ km/h$的平均速度从A站出发，行驶了$t\ h$，汽车离开A站后行驶的路程$s$（单位：km）与时间$t$（单位：h）之间的关系；
(2)汽车离开A站$4\ km$，再以$40\ km/h$的平均速度行驶了$t\ h$，汽车离开A站后行驶的路程$s$（单位：km）与时间$t$（单位：h）之间的关系。
[听课笔记]解(1)汽车以$40 km/h$的平均速度从A站出发，行驶了$t h$，则汽车离开A站后行驶的路程$s = 40t$，它是一次函数，也是正比例函数。
$\underline{\hspace{20em}}$
$\underline{\hspace{20em}}$
$\underline{\hspace{20em}}$(2)汽车离开A站$4 km$，再以$40 km/h$的平均速度行驶了$t h$，则汽车离开A站后行驶的路程$s = 40t + 4$，它是一次函数，不是正比例函数。
☑​名师点拨 一次函数$y = kx + b$的概念条件是$k$，$b$为常数，$k\neq0$，自变量次数为1；正比例函数的概念条件是$k$为常数，$k\neq0$，$b = 0$，自变量次数为1。

答案： 解
(1)汽车以$40 km/h$的平均速度从A站出发，行驶了$t h$，则汽车离开A站后行驶的路程$s = 40t$，它是一次函数，也是正比例函数。
(2)汽车离开A站$4 km$，再以$40 km/h$的平均速度行驶了$t h$，则汽车离开A站后行驶的路程$s = 40t + 4$，它是一次函数，不是正比例函数。

【对点训练2】将长为$30\ cm$，宽为$10\ cm$的长方形白纸，按如图所示的方式粘合起来，粘合部分的宽为$3\ cm$。设$x$张白纸粘合后的总长度为$y\ cm$，写出$y$与$x$的函数关系式，并求出当$x = 20$时，$y$的值。

答案： 解 由题意，得$y = 30x - (x - 1) × 3 = 27x + 3$。当$x = 20$时，$y = 543$。

1. 下列函数中，是正比例函数的是(D)。

A.$y = 4x - 1$
B.$y = 5x^2$
C.$y = \frac{20}{x}$
D.$y = -6x$

答案： 1.D

2. 下列函数：$y = 2x$；$y = 4x - 1$；$y = 3 - x$；$y = \frac{2}{x}$。其中一次函数的个数是(C)。

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： 2.C

3. 已知函数$y = (1 - m)x^{m^2}$是正比例函数，则$m =$-1$\underline{\hspace{3em}}$。

答案： 3.-1

4. 如果$y = kx + 2k + x$是关于$x$的正比例函数，则$k$的值为$\underline{\hspace{3em}}$。0

答案： 4.0

5. 已知关于$x$的函数$y = (m + 1)x^{|m|} + n - 3$。
(1)$m$取何值时，该函数是关于$x$的一次函数？
(2)$m$和$n$取何值时，该函数是关于$x$的正比例函数？

答案： 5.解
(1)
∵关于$x$的函数$y = (m + 1)x^{|m|} + n - 3$是关于$x$的一次函数，
∴$|m| = 1$，$m + 1 \neq 0$，
∴$m = 1$，
∴当$m = 1$时，该函数是关于$x$的一次函数。
(2)由
(1)知，$m = 1$。
∵该函数是关于$x$的正比例函数，
∴$n - 3 = 0$，
∴$n = 3$，
∴当$m = 1$，$n = 3$时，该函数是关于$x$的正比例函数。