《2025年家庭作业八年级数学上册北师大版》

一般地，形如$\sqrt{a}(a\geq0)$的式子叫作二次根式。$a$叫作被开方数。

答案： $\sqrt{a}(a\geq0)$ 被开方数

1. $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} =$$\sqrt{ab}$$(a \geq 0, b \geq 0)$。
2. $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} =$$\sqrt{\frac{a}{b}}$$(a \geq 0, b ＞ 0)$。

答案： 1.$\sqrt{ab}$ 2.$\sqrt{\frac{a}{b}}$

【例1】下列根式是二次根式的是(C)。

A.$\sqrt[3]{2}$
B.$\sqrt{a}$
C.$\sqrt{3}$
D.$2^{-2}$
[听课笔记]解析 由二次根式的定义可知,$\sqrt[3]{2}$,$\sqrt{a}$,$2^{-2}$不是二次根式,$\sqrt{3}$是二次根式。故选C。
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名师点拨 1. 一个式子是二次根式需满足两个条件：第一，含有二次根号“$\sqrt{}$”；第二，被开方数必须是非负数(正数或0)。
2. 二次根式的定义是“形式定义”，判断二次根式时只看它初始的外在形态，不看它计算与化简后的结果。

答案： C 解析 由二次根式的定义可知,$\sqrt[3]{2}$,$\sqrt{a}$,$2^{-2}$不是二次根式,$\sqrt{3}$是二次根式。故选C。

【对点训练1】下面的式子是二次根式的是(A)。

A.$\sqrt{a^2 + 1}$
B.$\sqrt[3]{33}$
C.$\sqrt{-1}$
D.$\frac{1}{2}a$

答案： A 解析 选项A,在$\sqrt{a^{2}+1}$中,因为$a^{2}+1＞0$,所以$\sqrt{a^{2}+1}$是二次根式,符合题意;选项B,$\sqrt[3]{33}$不是二次根式,不符合题意;选项C,$\sqrt{-1}$无意义,不符合题意;选项D,$\frac{1}{2}a$是整式,不符合题意。故选A。

【例2】计算：
(1)$\sqrt{12} × \sqrt{1 \frac{1}{3}}$；(2)$\frac{\sqrt{27} × \sqrt{8}}{\sqrt{6}}$；(3)$\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{5}}$。
[听课笔记]
＜ImageHere2＞＜/Img＞
名师点拨 进行二次根式的乘除运算时，应先将被开方数相乘除，因数是带分数的要化成假分数，再将相乘除的结果进行开方。

答案： 解
(1)原式=$\sqrt{12×\frac{4}{3}}$=$\sqrt{16}$=4。
(2)原式=$\sqrt{\frac{27×8}{6}}$=$\sqrt{36}$=6。
(3)原式=$\sqrt{\frac{45}{5}}$=$\sqrt{9}$=3。

【对点训练2】计算：
(1)$(\sqrt{2} + \sqrt{3})(2\sqrt{3} - \sqrt{2})$；
(2)$(\sqrt{3} + 3\sqrt{2})^2$；
(3)$(\sqrt{2} + \sqrt{5} - 1)(\sqrt{2} - \sqrt{5} - 1)$。

答案： 解
(1)$(\sqrt{2}+\sqrt{3})(2\sqrt{3}-\sqrt{2})$=$\sqrt{2}×2\sqrt{3}-(\sqrt{2})^{2}+\sqrt{3}×2\sqrt{3}-\sqrt{3}×\sqrt{2}$=$2\sqrt{6}-2+2(\sqrt{3})^{2}-\sqrt{6}$=$\sqrt{6}+4$。
(2)$(\sqrt{3}+3\sqrt{2})^{2}$=$(\sqrt{3})^{2}+2×\sqrt{3}×3\sqrt{2}+(3\sqrt{2})^{2}$=$3+6\sqrt{6}+18$=$21+6\sqrt{6}$。
(3)$(\sqrt{2}+\sqrt{5}-1)(\sqrt{2}-\sqrt{5}-1)$=$(\sqrt{2}-1+\sqrt{5})(\sqrt{2}-1-\sqrt{5})$=$(\sqrt{2}-1)^{2}-(\sqrt{5})^{2}$=$2-2\sqrt{2}+1-5$=$-2-2\sqrt{2}$。