《2025年家庭作业八年级数学上册北师大版》

含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，这样的方程叫作三元一次方程。

答案： 1

共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫作三元一次方程组。三元一次方程组中各个方程的公共解，叫作这个三元一次方程组的解。
拓展 三元一次方程组中的每个方程不一定都含有三个未知数，但方程组中一定要有三个未知数。

答案： 一次 公共

解三元一次方程组的基本思路是“消元”，即把“三元”化为“二元”，再化为“一元”。

$\begin{matrix}三元一次方程组 & \xrightarrow{消元} & 二元一次方程组 & \xrightarrow{消元} & 一元一次方程\end{matrix}$

答案： 一元

【例1】解方程组：$\begin{cases}x + 3y + 2z = 2,①\\3x + 2y - 4z = 3,②\\2x - y = 7。$$③\end{cases}[$听课笔记]解 ①×2+②，得 5x+8y=7。④
③④组成方程组\begin{cases}2x - y = 7,\\5x + 8y = 7.\end{cases}解这个方程组，得
\begin{cases}x = 3,\\y = -1.\end{cases}把x=3，y=-1代入①，得z=1。所以原方程组的解是\begin{cases}x = 3,\\y = -1,\\z = 1.\end{cases}
$\begin{matrix}$
$\end{matrix}$

答案： 解 ①×2+②，得 5x+8y=7。④
③④组成方程组$\begin{cases}2x - y = 7,\\5x + 8y = 7.\end{cases}$解这个方程组，得
$\begin{cases}x = 3,\\y = -1.\end{cases}$把x=3，y=-1代入①，得z=1。
所以原方程组的解是$\begin{cases}x = 3,\\y = -1,\\z = 1.\end{cases}$

【对点训练1】解方程组：$\begin{cases}2x + 3y - z = 11,\\2x + y - 5z = 8,\\-2x + 7y + z = 19。$$\end{cases}$

答案： 解$\begin{cases}2x + 3y - z = 11,①\\2x + y - 5z = 8,②\\-2x + 7y + z = 19。$$③\end{cases}$
①+③，得10y=30，即y=3。
②+③，得8y-4z=27。④
将y=3代入④，得$z=-\frac{3}{4}。$
将y=3，$z=-\frac{3}{4}$代入②，得$x=\frac{5}{8}。$
所以原方程组的解是$\begin{cases}x = \frac{5}{8},\\y = 3,\\z = -\frac{3}{4}.\end{cases}$