《2025年家庭作业八年级数学上册北师大版》

8.如图，已知点$A( - 6,0)$，点$B(0,4)$。
(1)求直线$AB$对应的函数表达式；
(2)在直线$AB$上有一点$P$，满足点$P$到$x$轴的距离等于$2$，求点$P$的坐标。

答案： 8.解
(1)设直线AB对应的函数表达式为$y = kx + b$，
根据题意，得$-6k + b = 0$，$b = 4$，
所以$k = \frac{2}{3}$，$b = 4$，
所以直线AB对应的函数表达式为$y = \frac{2}{3}x + 4$。
(2)因为点$P$到$x$轴的距离等于$2$，
所以$y = \pm2$。
将$y = 2$代入$y = \frac{2}{3}x + 4$得，$x = -3$，则点$P$坐标为$(-3,2)$；将$y = -2$代入$y = \frac{2}{3}x + 4$得，$x = -9$，则点$P$坐标为$(-9,-2)$。
综上，点$P$的坐标为$(-3,2)$或$(-9,-2)$。

【例1】如图，直线$y = 2x + 3$与$x$轴相交于点$A$，与$y$轴相交于点$B$。
(1) 求$A, B$两点的坐标；
(2) 过点$B$作直线$BP$与$x$轴相交于点$P$，且使$OP = 2OA$，求$\triangle ABP$的面积。
[听课笔记]$\underline{\hspace{20em}}$
$\underline{\hspace{20em}}$解(1)当 y=0 时，由 2x+3=0，解得x=-\frac{3}{2}，所以点 A 的坐标为(-\frac{3}{2},0)；当 x=0 时,y=3，所以点 B 的坐标为(0,3)。(2)设点 P 的坐标为(a,0)。因为 OP=2OA，所以 a=±3，所以点 P 坐标为(3,0)或(-3,0)，所以 S_{\triangle ABP}=\frac{1}{2} × (\frac{3}{2}+3) × 3=\frac{27}{4}，或 S_{\triangle ABP}=\frac{1}{2} × (3-\frac{3}{2}) × 3=\frac{9}{4}，所以\triangle ABP 的面积为\frac{27}{4}或\frac{9}{4}。
☑ 名师点拨 1. 利用一次函数与一元一次方程的联系，求直线与坐标轴的交点坐标。

2. 在平面直角坐标系中求三角形的面积时，通常把坐标轴上的边作为底，利用第三点的坐标求得底上的高，然后利用面积公式求解。

答案： 【例1】解
(1)当 y=0 时，由 2x+3=0，解得$x=-\frac{3}{2}，$所以点 A 的坐标为$(-\frac{3}{2},0)；$当 x=0 时,y=3，所以点 B 的坐标为(0,3)。
(2)设点 P 的坐标为(a,0)。因为 OP=2OA，所以 a=±3，所以点 P 坐标为(3,0)或(-3,0)，所以$ S_{\triangle ABP}=\frac{1}{2} × (\frac{3}{2}+3) × 3=\frac{27}{4}，$或$ S_{\triangle ABP}=\frac{1}{2} × (3-\frac{3}{2}) × 3=\frac{9}{4}，$所以$\triangle ABP $的面积为$\frac{27}{4}$或$\frac{9}{4}。$

【对点训练1】如图，在平面直角坐标系中，直线$y = ax + b$经过点$(0, -1), (2, 0)$和$(4, 1)$，则关于$x$的方程$ax + b = 1$的解为$x =$4$\underline{\hspace{2em}}$。

答案： 【对点训练1】4 解析
∵ 直线 y=ax+b 经过点(4,1)，
∴当 x=4 时,ax+b=1，
∴关于 x 的方程 ax+b=1 的解为 x=4。