《2025年家庭作业八年级数学上册北师大版》

知识点1 平方根的概念
一般地，如果一个数$x$的平方等于$a$，即$x^{2}=a$，那么这个数$x$就叫作$a$的平方根(也叫作二次方根)。

答案： 平方根

知识点2 平方根的性质
1. 一个正数有两个平方根；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。
2. 正数$a$有两个平方根，一个是$a$的算术平方根$\sqrt{a}$，另一个是$-\sqrt{a}$，它们互为相反数。
这两个平方根合起来可以记作±√a，读作“正、负根号a”。

答案： 1.两 ⼀ 没有
2.互为相反数 ±√a 正、负根号a

求一个数$a$的平方根的运算，叫作开平方，$a$叫作被开方数。
拓展 开平方与平方互为逆运算，正数、负数、0可以进行“平方”运算，且“平方”的结果只有一个；但“开平方”只有正数和0才可以，负数不能开平方，且正数开平方时有两个结果。

答案： 平方根

【例1】求下列各数的平方根：
(1)$0.64$；(2)$\frac{36}{25}$；(3)$0$；(4)$\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$。
[听课笔记]解(1)因为(±0.8)² = 0.64，所以0.64的平方根是±0.8，即±√0.64=±0.8。
(2)因为(±6/5)² = 36/25，所以36/25的平方根是±6/5，即±√36/25=±6/5。
(3)因为0² = 0，所以0的平方根是0，即√0=0。
(4)因为(±3/2)² = (-3/2)²，所以(-3/2)²的平方
根是±3/2，即±√(-3/2)²=±3/2。
☑名师点拨 一个正数有两个平方根，要防止与算术平方根混淆而出错。

答案： 解
(1)因为$(±0.8)^2 = 0.64，$所以0.64的平方根是±0.8，即±√0.64=±0.8。
(2)因为$(±6/5)^2 = 36/25，$所以36/25的平方根是±6/5，即
±√36/25=±6/5。
(3)因为$0^2 = 0，$所以0的平方根是0，即√0=0。
(4)因为$(±3/2)^2 = (-3/2)^2，$所以$(-3/2)^2$的平方
根是±3/2，即$±√(-3/2)^2=±3/2。$

【对点训练1】下列各数有平方根吗？若有，求出它的平方根；若没有，请说明理由。
(1)$\frac{9}{4}$；(2)$-9$；(3)$\vert-0.81\vert$；(4)$7$。

答案： 解
(1)因为9/4是正数，所以它有两个平方根。又因为$(±3/2)^2 = 9/4，$所以9/4的平方根是±3/2，即±√9/4=±3/2。
(2)因为-9是负数，所以-9没有平方根。
(3)因为|-0.81|是正数，所以它有两个平方根。
又因为|-0.81|$ = (±0.9)^2，$所以|-0.81|的平方根是±0.9，即±√|-0.81|=±0.9。
(4)因为7是正数，所以它有两个平方根。7的平方根是±√7。

【例2】求下列各式中未知数$x$的值：
(1)$(2x-1)^{2}=9$；(2)$81(x-2)^{2}-16=0$。
[听课笔记]解(1)开平方，得2x - 1 = ±3。即2x - 1 = 3
或2x - 1 = -3。所以x = 2或x = -1。(2)原等式可以化为(x - 2)² = 16/81。
开平方，得x - 2 = ±4/9。
即x - 2 = 4/9或x - 2 = -4/9。所以x = 22/9或x = 14/9。
☑名师点拨 用直接开平方法解题时，应根据式子的特征，将左边化成完全平方式，右边化为非负数的形式，再开平方，从而得其解，同时注意开平方后各系数符号的变化。

答案： 解
(1)开平方，得2x - 1 = ±3。即2x - 1 = 3
或2x - 1 = -3。所以x = 2或x = -1。
(2)原等式可以化为$(x - 2)^2 = 16/81。$
开平方，得x - 2 = ±4/9。
即x - 2 = 4/9或x - 2 = -4/9。所以x = 22/9或x = 14/9。