《2025年家庭作业八年级数学上册北师大版》

7. 五一期间，小明和父母一起开车到距家 $ 200 $ km 的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油 $ 45 $ L，当行驶 $ 150 $ km 时，发现油箱剩余油量为 $ 30 $ L。（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的）
(1)求该车平均每千米的耗油量，并写出剩余油量 $ Q $（单位：L）与行驶路程 $ x $（单位：km）的关系式和 $ x $ 的取值范围；
(2)当 $ x = 200 $ 时，求剩余油量 $ Q $ 的值。

答案： 7. 解
(1)该车平均每千米的耗油量为$(45 - 30) ÷ 150 = 0.1(L/km)$，$\therefore Q = 45 - 0.1x$，故该车平均每千米的耗油量为$0.1 L/km$，剩余油量$Q$（单位：L）与行驶路程$x$（单位：km）的关系式为$Q = 45 - 0.1x(0 \leq x \leq 200)$。
(2)当$x = 200$时，$Q = 45 - 0.1 × 200 = 25$，
故当$x = 200$时，剩余油量$Q$的值为$25 L$。

如果两个变量$x$，$y$之间的对应关系可以表示成$y =$kx + b$\underline{\hspace{5em}}$（$k$，$b$为常数，$k\neq0$）的形式，那么称$y$是$x$的一次函数。特别地，当$b = 0$时，称$y$是$x$的正比例函数。
拓展 一次函数必须符合下列条件：
(1)关于两个变量$x$，$y$的次数是1；
(2)自变量$x$的系数$k\neq0$；
(3)等号的两边必须是关于两个变量的整式；
(4)正比例函数是一次函数的特殊情况，特殊之处在于$b = 0$，因此，正比例函数一定是一次函数，但一次函数并不一定是正比例函数。

答案： kx + b

【例1】已知函数$y = (m - 5)x^{m^2 - 24} + n + 1$。
(1)若它是一次函数，求$m$的值；
(2)若它是正比例函数，求$m$，$n$的值。
[听课笔记]解(1)因为$y = (m - 5)x^{m^2 - 24} + n + 1$是一次函数，所以$m^2 - 24 = 1$，且$m - 5 \neq 0$。由$m^2 - 24 = 1$，解得$m = \pm 5$。由$m - 5 \neq 0$，得$m \neq 5$，所以$m = -5$，所以当$m = -5$时，该函数是一次函数。
$\underline{\hspace{20em}}$
$\underline{\hspace{20em}}$
$\underline{\hspace{20em}}$(2)因为$y = (m - 5)x^{m^2 - 24} + n + 1$是正比例函数，所以$m^2 - 24 = 1$，$n + 1 = 0$，且$m - 5 \neq 0$。由$m^2 - 24 = 1$，且$m - 5 \neq 0$，得$m = -5$。由$n + 1 = 0$，解得$n = -1$，所以当$m = -5$，$n = -1$时，该函数是正比例函数。
☑​名师点拨 判断一个函数是一次函数还是正比例函数，不仅要考虑自变量的次数等于1，还不能忽视自变量的系数不能等于0这一条件。

答案： 解
(1)因为$y = (m - 5)x^{m^2 - 24} + n + 1$是一次函数，所以$m^2 - 24 = 1$，且$m - 5 \neq 0$。由$m^2 - 24 = 1$，解得$m = \pm 5$。由$m - 5 \neq 0$，得$m \neq 5$，所以$m = -5$，所以当$m = -5$时，该函数是一次函数。
(2)因为$y = (m - 5)x^{m^2 - 24} + n + 1$是正比例函数，所以$m^2 - 24 = 1$，$n + 1 = 0$，且$m - 5 \neq 0$。由$m^2 - 24 = 1$，且$m - 5 \neq 0$，得$m = -5$。由$n + 1 = 0$，解得$n = -1$，所以当$m = -5$，$n = -1$时，该函数是正比例函数。

【对点训练1】下列函数中，是一次函数的是(C)。

A.$y = \frac{6}{x}$
B.$y = x^2$
C.$y = 3x - 5$
D.$y = \frac{1}{x - 1}$

答案： C