《2025年家庭作业八年级数学上册北师大版》

【例1】解方程组：$\begin{cases}2x - y = 4,① \\ x + 3y = 9。②\end{cases}$
[听课笔记]解由②，得x=9 - 3y。③把③代入①，得2(9 - 3y)-y=4，解得y=2。把y=2代入③，得x=9 - 3×2=3。故原方程组的解是\begin{cases} x = 3, \\ y = 2. \end{cases}
$\checkmark$名师点拨 当二元一次方程组中存在某个未知数的系数为±1时，用代入消元法求解比较简便。

答案： 解由②，得x=9 - 3y。③把③代入①，得2(9 - 3y)-y=4，解得y=2。把y=2代入③，得x=9 - 3×2=3。故原方程组的解是$\begin{cases} x = 3, \\ y = 2. \end{cases}$

【例2】解方程组：$\begin{cases}2x - 7y = 3,① \\ 3x - 8y = 10。②\end{cases}$
[听课笔记]解由①，得x=\frac{7y + 3}{2}。③把③代入②，得3×\frac{7y + 3}{2}-8y=10，解得y=\frac{11}{5}。把y=\frac{11}{5}代入③，得x=\frac{46}{5}。所以原方程组的解是\begin{cases} x = \frac{46}{5}, \\ y = \frac{11}{5}. \end{cases}
$\checkmark$名师点拨 当二元一次方程组中不存在未知数的系数为±1时，用代入消元法解方程组，应首先选择一个未知数的系数比较简单的方程，把其中一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来。

答案： 解由①，得$x=\frac{7y + 3}{2}。$③把③代入②，得$3×\frac{7y + 3}{2}-8y=10，$解得$y=\frac{11}{5}。$把$y=\frac{11}{5}$代入③，得$x=\frac{46}{5}。$所以原方程组的解是$\begin{cases} x = \frac{46}{5}, \\ y = \frac{11}{5}. \end{cases}$

【例3】已知$\begin{cases}x = 1, \\ y = 2\end{cases}$是关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}mx + ny = 7, \\ 2mx - 3ny = 4\end{cases}$的解，求$m - 2n$的值。
[听课笔记]解把\begin{cases} x = 1, \\ y = 2 \end{cases}代入\begin{cases} mx + ny = 7, \\ 2mx - 3ny = 4 \end{cases}得\begin{cases} m + 2n = 7, ① \\ 2m - 6n = 4. ② \end{cases}由①，得m=7 - 2n。③把③代入②，得2(7 - 2n)-6n=4，解得n=1。把n=1代入③，得m=5。所以m - 2n=5 - 2=3。
$\checkmark$名师点拨 解决此类问题，把二元一次方程组的解代入方程组后得到新的二元一次方程组，求解即可。

答案： 解把$\begin{cases} x = 1, \\ y = 2 \end{cases}$代入$\begin{cases} mx + ny = 7, \\ 2mx - 3ny = 4 \end{cases}$得$\begin{cases} m + 2n = 7, ① \\ 2m - 6n = 4. ② \end{cases}$由①，得m=7 - 2n。③把③代入②，得2(7 - 2n)-6n=4，解得n=1。把n=1代入③，得m=5。所以m - 2n=5 - 2=3。

【对点训练】已知方程组$\begin{cases}ax - by = 4, \\ ax + by = 2\end{cases}$的解为$\begin{cases}x = 2, \\ y = 1,\end{cases}$则$6a + 3b$的值为(B)。

A.4
B.6
C.-6
D.-4

答案： B解析把$\begin{cases} x = 2, \\ y = 1 \end{cases}$代入$\begin{cases} ax - by = 4, \\ ax + by = 2, \end{cases}$得$\begin{cases} 2a - b = 4, \\ 2a + b = 2, \end{cases}$解得$\begin{cases} a = 1.5, \\ b = -1. \end{cases}$所以6a + 3b=6×1.5 + 3×(-1)=6。故选B。