《2025年家庭作业八年级数学上册北师大版》

【对点训练2】下列各式中属于最简二次根式的是(D)。

A.$\sqrt{\frac{3}{2}}$
B.$\sqrt{0.1}$
C.$\sqrt{4a^3}$
D.$\sqrt{a^2 + 1}$

答案： D 解析 选项A，被开方数中含有分母，故此选项错误；选项B，被开方数中含有小数，故此选项错误；选项C，被开方数中$a^3$指数大于2，故此选项错误；选项D，$\sqrt{a^2 + 1}$符合最简二次根式的概念，故此选项正确。故选D。

【例3】计算：
(1)$2\sqrt{12} - 3\sqrt{48} + \sqrt{27}$；
(2)$(\sqrt{0.5} - 2\sqrt{\frac{1}{3}}) - (\sqrt{\frac{1}{8}} - \sqrt{75})$。
[听课笔记]解(1) $2\sqrt{12} - 3\sqrt{48} + \sqrt{27} = 4\sqrt{3} - 12\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = -5\sqrt{3}$。(2) $(\sqrt{0.5} - 2\sqrt{\frac{1}{3}}) - (\sqrt{\frac{1}{8}} - \sqrt{75}) = \sqrt{\frac{1}{2}} - 2\sqrt{\frac{1}{3}} - \sqrt{\frac{1}{8}} + \sqrt{75} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2}{3}\sqrt{3} - \frac{\sqrt{2}}{4} + 5\sqrt{3} = (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}) + (-\frac{2}{3}\sqrt{3} + 5\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{13}{3}\sqrt{3}$。
☑名师点拨 二次根式加减运算的步骤：
(1)化简：将二次根式化成最简二次根式。
(2)判断：找出被开方数相同的二次根式。
(3)合并：类似于合并同类项，将被开方数相同的二次根式合并。

答案：
(1) $2\sqrt{12} - 3\sqrt{48} + \sqrt{27} = 4\sqrt{3} - 12\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = -5\sqrt{3}$。
(2) $(\sqrt{0.5} - 2\sqrt{\frac{1}{3}}) - (\sqrt{\frac{1}{8}} - \sqrt{75}) = \sqrt{\frac{1}{2}} - 2\sqrt{\frac{1}{3}} - \sqrt{\frac{1}{8}} + \sqrt{75} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2}{3}\sqrt{3} - \frac{\sqrt{2}}{4} + 5\sqrt{3} = (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}) + (-\frac{2}{3}\sqrt{3} + 5\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{13}{3}\sqrt{3}$。

【对点训练3】计算：
(1)$5\sqrt{3} + 4\sqrt{2} - \sqrt{12} - \sqrt{18}$；
(2)$(\sqrt{\frac{1}{2}} - \sqrt{\frac{1}{3}}) - (\sqrt{4.5} - \sqrt{0.75})$。

答案：
(1) 原式$= 5\sqrt{3} + 4\sqrt{2} - 2\sqrt{3} - 3\sqrt{2} = (5\sqrt{3} - 2\sqrt{3}) + (4\sqrt{2} - 3\sqrt{2}) = 3\sqrt{3} + \sqrt{2}$。
(2) 原式$= (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{3}) - (\frac{3\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{3\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{3\sqrt{2}}{2}) + (-\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}) = -\sqrt{2} + \frac{\sqrt{3}}{6}$。

1. 下列二次根式中，是最简二次根式的为(C)。

A.$\sqrt{24}$
B.$\sqrt{\frac{2}{3}}$
C.$\sqrt{30}$
D.$\sqrt{50}$

答案： 1 C

2. 下列运算正确的是(B)。

A.$\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$
B.$\sqrt{2} × \sqrt{5} = \sqrt{10}$
C.$2 ÷ \sqrt{2} = 1$
D.$\sqrt{(-5)^2} = -5$

答案： 2 B

3. 计算：$\sqrt{12} - \sqrt{3} =$ $\sqrt{3}$。

答案： 3 $\sqrt{3}$