《2025年家庭作业八年级数学上册北师大版》

知识点 勾股定理
1. 定义：直角三角形两直角边长度的平方和等于斜边长度的平方。
2. 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦。

答案： 1. 平方和　2. 勾　股　弦

【例 1】如图，所有的四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形 A，B 的边长分别是 5，3，则正方形 C 的面积是(B)。

A.8
B.34
C.16
D.17
[听课笔记]解析由题中图形可知，正方形A的面积与正方形B的面积的和等于直角三角形两直角边平方的和，即直角三角形斜边的平方，而直角三角形斜边的平方等于正方形C的面积，所以正方形C的面积
＜ImageHere1＞＜/Img＞$=5^{2}+3^{2}=34$。故选B。
名师点拨 勾股定理是利用面积关系得到的，反之，我们也可以利用勾股定理来解答图形的面积问题。

答案： B　解析由题中图形可知，正方形A的面积与正方形B的面积的和等于直角三角形两直角边平方的和，即直角三角形斜边的平方，而直角三角形斜边的平方等于正方形C的面积，所以正方形C的面积$=5^{2}+3^{2}=34$。故选B。

【对点训练 1】如图，阴影部分是一个正方形，如果正方形的面积为 $ 64 \, cm^2 $，则 $ x $ 的值为17。

＜ImageHere2＞＜/Img＞

答案： 17　解析因为正方形的面积为$64\ cm^{2}$，所以正方形的边长为8 cm，所以$x^{2}=15^{2}+8^{2}$，解得$x=17$。

【例 2】如图，在 $ \triangle ABC $ 中， $ \angle ACB = 90° $， $ CD $ 是高。若 $ AB = 13 \, cm $， $ AC = 5 \, cm $，求 $ CD $ 的长。
[听课笔记]解在$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中，由勾股定理，得$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$，所以$BC^{2}=AB^{2}-AC^{2}=13^{2}-5^{2}=12^{2}$。因为$BC＞0$，所以$BC=12\ cm$。
＜ImageHere3＞＜/Img＞由三角形的面积公式可得，$\frac{AC\cdot BC}{2}=\frac{AB\cdot CD}{2}$，所以$CD=\frac{60}{13}\ cm$。
名师点拨 用勾股定理求线段长度时，先确定直角三角形，当直角三角形中已知两边时，可直接求出第三边；当直角三角形中已知两边关系及第三边时，可构造方程，通过解方程求得结果。

答案： 解在$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中，由勾股定理，得$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$，所以$BC^{2}=AB^{2}-AC^{2}=13^{2}-5^{2}=12^{2}$。因为$BC＞0$，所以$BC=12\ cm$。由三角形的面积公式可得，$\frac{AC\cdot BC}{2}=\frac{AB\cdot CD}{2}$，所以$CD=\frac{60}{13}\ cm$。

【对点训练 2】如图，在 $ Rt \triangle ABC $ 中， $ \angle C = 90° $， $ AC = 8 $， $ BC = 6 $， $ D $ 为 $ AC $ 上一点，若 $ BD $ 是 $ \angle ABC $ 的平分线，则 $ AD = $5。
＜ImageHere4＞＜/Img＞

答案：
5
解析如图，过点D作

$DE\perp AB$于点E，因为$\angle C=90^{\circ}$，所以$CD\perp BC$。
因为BD是$\angle ABC$的平分线，$CD\perp BC$，$DE\perp AB$，所以$CD=DE$。在$\mathrm{Rt}\triangle BCD$和$\mathrm{Rt}\triangle BED$中，$\begin{cases}CD=DE\\BD=BD\end{cases}$，所以$\mathrm{Rt}\triangle BCD\cong\mathrm{Rt}\triangle BED(\mathrm{HL})$，所以$BC=BE=6$。在$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中，$AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}=8^{2}+6^{2}=10^{2}$，所以$AB=10$，所以$AE=AB - BE=10 - 6=4$。设$CD=DE=x$，则$AD=AC - CD=8 - x$，在$\mathrm{Rt}\triangle ADE$中，$AE^{2}+DE^{2}=AD^{2}$，所以$4^{2}+x^{2}=(8 - x)^{2}$，解得$x=3$，所以$AD=8 - x=5$。