《2025年家庭作业八年级数学上册北师大版》

知识点1 确定正比例函数的表达式
由于正比例函数$y = kx(k \neq 0)$中只有一个未知系数$k$，故只要一个条件，即一对$x$，$y(x \neq 0,y \neq 0)$的值或一个点(原点除外)的坐标，就可以求出$k$的值，确定正比例函数的表达式。

答案： 知识点1 确定正比例函数的表达式
$k$

知识点2 确定一次函数的表达式
一次函数$y = kx + b(k \neq 0)$有两个未知系数$k,b$，需要两个独立的关于$k$，$b$的条件，这两个条件通常是两个点的坐标或两对$x$，$y$的值。

答案： 知识点2 确定一次函数的表达式
$k,b$

【例1】已知一个正比例函数和一个一次函数，它们的图象都经过点$P( - 2,2)$，且一次函数的图象与$y$轴相交于点$Q(0,4)$，求这两个函数的表达式。
[听课笔记]解 设这个正比例函数的表达式为$y = ax(a \neq 0)$，则$-2a = 2$，解得$a = -1$，所以这个正比例函数的表达式为$y = -x$。设这个一次函数的表达式为$y = kx + b(k \neq 0)$，根据题意，得$4 = b$， ①$2 = -2k + b$， ②将①代入②，得$k = 1$，所以这个一次函数的表达式为$y = x + 4$。
☀~名师点拨~☀求一次函数表达式的一般步骤：
(1)设一次函数的表达式$y = kx + b(k \neq 0)$，其中$k$，$b$称为待定系数；(2)根据条件分别得到关于$k$，$b$的两个方程(本题中，其中一个方程可以直接求出$b$的值)；(3)求出$k$，$b$的值，写出函数的表达式。

答案： 【例1】解 设这个正比例函数的表达式为$y = ax(a \neq 0)$，则$-2a = 2$，解得$a = -1$，所以这个正比例函数的表达式为$y = -x$。
设这个一次函数的表达式为$y = kx + b(k \neq 0)$，
根据题意，得$4 = b$， ①
$2 = -2k + b$， ②
将①代入②，得$k = 1$，
所以这个一次函数的表达式为$y = x + 4$。

【对点训练1】一次函数$y = kx + b$的图象经过点$(2, - 1)$和$(0,3)$，那么这个一次函数的表达式为(A)。

A.$y = - 2x + 3$　　
B.$y = - 3x + 2$
C.$y = 3x - 2$　　　
D.$y = \frac{1}{2}x - 3$

答案： 【对点训练1】A 解析 根据题意，得$-1 = 2k + b$， ①
$b = 3$。 ②
将②代入①，得$k = -2$，所以$y = -2x + 3$。故选A。

【例2】声音在空气中传播的速度$y$(单位：$m/s$)(简称音速)与气温$x$(单位：$° C$)之间是一次函数关系，下表列出了一组不同气温时的音速：

气温$x/° C$ 0 5 10 15 20
音速$y/(m/s)$ 331 334 337 340 343
(1)求$y$与$x$之间的函数表达式；
(2)当气温为$22° C$时，某人看到烟花燃放$5s$后才听到声响，则此人与燃放烟花所在地约相距多远？(烟花发出的光的传播时间忽略不计)
[听课笔记]解(1)设$y$与$x$之间的函数表达式为$y = kx + b(k \neq 0)$。由表知，当$x = 0$时，$y = 331$；当$x = 5$时，$y = 334$。所以$331 = b$，$334 = 5k + b$，所以$b = 331$，$k = \frac{3}{5}$。所以$y$与$x$之间的函数表达式为$y = \frac{3}{5}x + 331$。(2)当$x = 22$时，$y = \frac{3}{5} × 22 + 331 = 344.2$，$344.2 × 5 = 1721(m)$，所以此人与燃放烟花所在地相距约为$1721m$。
☀~名师点拨~☀在选取$(x,y)$的值时，要本着易于求出$k$，$b$的值的原则，如本例中若不取$(0,331)$，则求$b$的值将比较困难。

答案： 【例2】解
(1)设$y$与$x$之间的函数表达式为$y = kx + b(k \neq 0)$。由表知，当$x = 0$时，$y = 331$；当$x = 5$时，$y = 334$。所以$331 = b$，$334 = 5k + b$，所以$b = 331$，$k = \frac{3}{5}$。所以$y$与$x$之间的函数表达式为$y = \frac{3}{5}x + 331$。
(2)当$x = 22$时，$y = \frac{3}{5} × 22 + 331 = 344.2$，
$344.2 × 5 = 1721(m)$，
所以此人与燃放烟花所在地相距约为$1721m$。