《2025年家庭作业八年级数学上册北师大版》

知识点1 验证勾股定理
操作：剪四个与图1完全相同的直角三角形，然后将它们拼成如图2所示的图形。
(1)大正方形的边长可以表示为a+b，面积可以表示为$(a+b)^2$。
(2)大正方形由4个三角形和1个小正方形组成，面积可以表示为$4×\frac{1}{2}ab+c^2$。
归纳：对比两种表示方法，可以得到等式：______。整理，得______。

答案： 操作
(1)$a+b$　$(a+b)^2$　
(2)$4×\frac{1}{2}ab+c^2$
归纳$(a+b)^2=4×\frac{1}{2}ab+c^2$　$a^2+b^2=c^2$

【例1】一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的验证方法。如图，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB'C'D'的位置，连接CC'，设AB = a，BC = b，AC = c，请利用四边形BCC'D'的面积验证勾股定理：a² + b² = c²。

答案： 解因为四边形$BCC'D'$为直角梯形，
所以$S_{梯形BCC'D'}=\frac{1}{2}(BC + C'D') \cdot BD' = \frac{(a+b)^2}{2}$。
又因为$\angle BAD = 90°$，$Rt\triangle ABC\cong Rt\triangle AB'C'$，
所以$\angle BAC = \angle B'AC'$，所以$\angle CAC' = \angle CAB' + \angle B'AC' = \angle CAB' + \angle BAC = 90°$，所以$S_{梯形BCC'D'}=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle CAC'}+S_{\triangle D'AC'}=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}ab=\frac{c^2 + 2ab}{2}$，所以$\frac{(a+b)^2}{2}=\frac{c^2 + 2ab}{2}$，所以$a^2 + b^2 = c^2$。