《2025年家庭作业八年级数学上册北师大版》

如果三角形三条边的长度 $a,b,c$ 满足 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$，那么这个三角形是直角三角形。

答案： 直角

满足 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ 的三个正整数，称为勾股数。

答案： 正整数

【例1】判断由线段 $a,b,c$ 组成的三角形是不是直角三角形。
(1)$a = \frac {4}{3}$,$b = 1$,$c = \frac {3}{4}$;
(2)$a = 17$,$b = 15$,$c = 8$。
[听课笔记]
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☀名师点拨☀ 利用勾股定理判定一个三角形是直角三角形的一般步骤:
(1)确定最长边，算出最长边的平方。
(2)计算另两边的平方和。
(3)比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则此三角形为直角三角形。

答案： 解
(1)因为 $a＞b＞c$，$b^2 + c^2 = 1^2 + (\frac{3}{4})^2 = \frac{25}{16}$，$a^2 = (\frac{4}{3})^2 = \frac{16}{9}$，所以 $b^2 + c^2 \neq a^2$，
所以由线段 $a$，$b$，$c$ 组成的三角形不是直角三角形。
(2)由已知得 $a＞b＞c$。
因为 $b^2 + c^2 = 15^2 + 8^2 = 289$，$a^2 = 17^2 = 289$，
所以 $b^2 + c^2 = a^2$，
所以由线段 $a$，$b$，$c$ 组成的三角形是以 $a$ 为斜边的直角三角形。

【对点训练1】$\triangle ABC$ 的三边分别为 $a$,$b$,$c$,下列选项中，不能判定 $\triangle ABC$ 是直角三角形的是(A)。

A.$a = 3^{2}$,$b = 4^{2}$,$c = 5^{2}$
B.$\angle A + \angle B = 90^{\circ}$
C.$a = 6$,$b = 8$,$c = 10$
D.$a = 5$,$b = 12$,$c = 13$

答案： A 解析 对于选项 A，因为 $(3^2)^2 + (4^2)^2 \neq (5^2)^2$，所以三边分别为 $a$，$b$，$c$ 的 $\triangle ABC$ 不是直角三角形，符合题意；对于选项 B，因为 $\angle A + \angle B = 90°$，$\angle A + \angle B + \angle C = 180°$，所以 $\angle C = 90°$，所以 $\triangle ABC$ 是直角三角形，不符合题意；对于选项 C，因为 $a^2 + b^2 = 6^2 + 8^2 = 100$，$c^2 = 10^2 = 100$，所以 $a^2 + b^2 = c^2$，所以三边分别为 $a$，$b$，$c$ 的 $\triangle ABC$ 是直角三角形，不符合题意；对于选项 D，因为 $a^2 + b^2 = 5^2 + 12^2 = 169$，$c^2 = 13^2 = 169$，所以 $a^2 + b^2 = c^2$，所以三边分别为 $a$，$b$，$c$ 的 $\triangle ABC$ 是直角三角形，不符合题意。故选 A。

【例2】判定下列各组数是不是勾股数:
(1)$7,24,25$;(2)$8,15,19$;(3)$0.6,0.8$,$1.0$;(4)$3n$,$4n$,$5n(n＞1$,且 $n$ 为自然数)。
[听课笔记]
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☀名师点拨☀一组数是不是勾股数必须满足两个条件:
(1)满足 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$;
(2)都是正整数。
二者缺一不可。

答案： 解
(1)因为 $7$，$24$，$25$ 都是正整数，且 $7^2 + 24^2 = 25^2$，所以 $7$，$24$，$25$ 是勾股数。
(2)因为 $8^2 + 15^2 \neq 19^2$，所以 $8$，$15$，$19$ 不是勾股数。
(3)因为 $0.6$，$0.8$，$1.0$ 不是正整数，
所以 $0.6$，$0.8$，$1.0$ 不是勾股数。
(4)因为 $n＞1$，且 $n$ 为自然数，
所以 $3n$，$4n$，$5n$ 都是正整数。
又 $(3n)^2 + (4n)^2 = 25n^2 = (5n)^2$，
所以 $3n$，$4n$，$5n$($n＞1$，且 $n$ 为自然数)是勾股数。