《2025年家庭作业七年级数学上册人教版》

专题二 与有理数运算有关的新定义型问题
【例6】对于任意两个有理数对$(a, b)和(c, d)$,规定：当$a = c$,$b = d$时,有$(a, b) = (c, d)$；运算“$\otimes$”为：$(a, b)\otimes(c, d) = (ac, bd)$；运算“$\oplus$”为：$(a, b)\oplus(c, d) = (a + c, b + d)$。设$p$,$q$都是有理数,若$(3, 4)\otimes(p, q) = (6, -12)$,则$(3, 4)\oplus(p, q) = $____。
解析：由于$(a, b)\otimes(c, d) = (ac, bd)$,所以$(3, 4)\otimes(p, q) = (3p, 4q)$。根据题意,有$(3p, 4q) = (6, -12)$,所以$3p = 6$,$4q = -12$,解得$p = 2$,$q = -3$。因为$(a, b)\oplus(c, d) = (a + c, b + d)$,所以$(3, 4)\oplus(p, q) = (3, 4)\oplus(2, -3) = (3 + 2, 4 - 3) = (5, 1)$。
答案：$(5, 1)$

答案： $(5,1)$

6. 现定义一种新运算“$*$”,对任意有理数$a$,$b$,规定$a * b = ab + a - b$。例如：$1 * 2 = 1×2 + 1 - 2$。
(1) 求$2 * (-3)$的值；
(2) 求$(-3) * [(-2) * 5]$的值。

答案： 6. 解：（1）$2*(-3)=2×(-3)+2-(-3)=-6+2+3=-1;$（2）$(-3)*[(-2)*5]=(-3)*[(-2)×5+(-2)-5]=(-3)*(-17)=(-3)×(-17)+(-3)-(-17)=51-3+17=65.$