《2025年金学典同步解析与测评贵州人民出版社九年级数学上册人教版》

手工课上,小明准备做一个形状是菱形的风筝,这个菱形的两条对角线长度之和恰好为 $60$ cm,菱形的面积 $S$(单位：$cm^{2}$)随其中一条对角线的长 $x$(单位：cm)的变化而变化。
(1)请直接写出 $S$ 与 $x$ 之间的函数关系式(不要求写出自变量 $x$ 的取值范围)；
(2)当 $x$ 是多少时,菱形风筝的面积 $S$ 最大？最大面积是多少？

答案：
(1)$S=-\dfrac{1}{2}x^{2}+30x$.
(2)因为$S=-\dfrac{1}{2}x^{2}+30x=-\dfrac{1}{2}(x - 30)^{2}+450$,且$-\dfrac{1}{2}＜0$,
所以当$x = 30$时,$S$有最大值,最大值为450.
即当$x$为30cm时,菱形风筝的面积$S$最大,最大面积是$450\ cm^{2}$.

1. 如图是一个迷宫游戏盘的局部平面简化示意图,该矩形的长、宽分别为 $5$ cm,$3$ cm,其中阴影部分为迷宫中的挡板,设挡板的宽度为 $x$ cm,小球滚动的区域(空白区域)的面积为 $y$ $cm^{2}$,则下列所列方程正确的是(B)。

A.$y = 5×3 - 3x - 5x$
B.$y= (5 - x)(3 - x)$
C.$y = 3x + 5x$
D.$y= (5 - x)(3 - x)+5x^{2}$

答案： B

2. 用总长为 $40$ cm 的绳子围成一个矩形,则矩形面积 $y$($cm^{2}$)与一边长 $x$(cm)之间的函数关系式为(C)。
A.$y = x^{2}$
B.$y= -x^{2}+40x$
C.$y= -x^{2}+20x$
D.$y= -x^{2}+20$

答案： C

3. 用长为 $8$ m 的铝合金条制成如图形状的矩形窗框,要使窗户的透光面积最大,那么这个窗户的最大透光面积是(C)。

A.$\frac{64}{25}$ $m^{2}$
B.$\frac{4}{3}$ $m^{2}$
C.$\frac{8}{3}$ $m^{2}$
D.$4$ $m^{2}$

答案： C

4. 用长度一定的绳子围成一个矩形,如果矩形的一边长 $x$(m)与面积 $y$($m^{2}$)满足函数关系 $y= -(x - 12)^{2}+144$($0＜x＜24$),则该矩形面积的最大值为144 $m^{2}$。

答案： 144

5. 已知一个直角三角形两条直角边的和为 $20$ cm,则这个直角三角形的最大面积为50 $cm^{2}$。

答案： 50

6. 如图,一块矩形土地 $ABCD$ 由篱笆围着,并且由一条与 $CD$ 边平行的篱笆 $EF$ 分开。已知篱笆的总长为 $900$ m(篱笆的厚度忽略不计),当 $AB= $150 m 时,矩形土地 $ABCD$ 的面积最大。
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答案： 150

7. 某养殖户用长 $80$ m 的隔离网在某湖泊中围成一个长方形养殖区域用来饲养某种虾。如图,该长方形养殖区域中间有两条隔离网,则围成的养殖区域的最大面积是200 $m^{2}$。
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答案： 200