《2025年金学典同步解析与测评贵州人民出版社九年级数学上册人教版》

8. 若抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ 与抛物线 $ y = 2x^2 - 4x - 1 $ 的顶点重合,且与 $ y $ 轴的交点坐标为 $ (0,1) $,则抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ 的解析式是(B)。
A.$ y = 4x^2 - 8x - 7 $
B.$ y = 4x^2 - 8x + 1 $
C.$ y = 2x^2 - 4x + 1 $
D.$ y = -2x^2 - 4x + 1 $

答案： B

9. 已知抛物线的顶点坐标是 $ (3,-1) $,与 $ y $ 轴的交点是 $ (0,-4) $,求这个抛物线对应的函数解析式。

答案： 【解】设抛物线对应的函数解析式为$y=a(x-3)^{2}-1.$因为图象经过点$(0,-4),$所以$-4=a(0-3)^{2}-1$,所以$a=-\frac {1}{3},$所以$y=-\frac {1}{3}(x-3)^{2}-1=-\frac {1}{3}x^{2}+2x-4.$

10. 如图(1),抛物线 $ y = x^2 + bx + c $ 与 $ x $ 轴交于 $ A(-1,0) $,$ B(3,0) $ 两点,与 $ y $ 轴交于点 $ C $。

(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点 $ E $ 是抛物线的对称轴与直线 $ BC $ 的交点,点 $ F $ 是抛物线的顶点,求 $ EF $ 的长；
(3)设点 $ P $ 是(1)中抛物线上的一个动点,是否存在满足 $ S_{\triangle PAB} = 6 $ 的点 $ P $？若存在,请求出点 $ P $ 的坐标；若不存在,请说明理由(请在图(2)中探索)。

答案： 【解】
(1)因为抛物线$y=x^{2}+bx+c$与x轴的两个交点分别为$A(-1,0),B(3,0),$所以$\left\{\begin{array}{l} 1-b+c=0,\\ 9+3b+c=0,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} b=-2,\\ c=-3,\end{array}\right. $所以该抛物线的解析式为$y=x^{2}-2x-3.$
(2)由
(1)知,抛物线的解析式为$y=x^{2}-2x-3$,则$C(0,-3),$又$y=x^{2}-2x-3=(x-1)^{2}-4,$所以$F(1,-4).$设直线 BC 的解析式为$y=kx-3(k≠0),$把$B(3,0)$代入,得$0=3k-3$,解得$k=1,$则直线 BC 的解析式为$y=x-3.$故当$x=1$时,$y=-2$,即$E(1,-2),$所以$EF=|-4|-|-2|=2,$即$EF=2.$
(3)存在.设点$P(x,y),$由题意,得$S_{\triangle PAB}=\frac {1}{2}×4×|y|=6,$所以$|y|=3$,所以$y=\pm 3.$当$y=-3$时,$x^{2}-2x-3=-3,$解得$x_{1}=0,x_{2}=2;$当$y=3$时,$x^{2}-2x-3=3,$解得$x_{3}=1-\sqrt {7},x_{4}=1+\sqrt {7}.$所以存在满足$S_{\triangle PAB}=6$的点 P,点 P 的坐标为$(0,-3)$或$(2,-3)$或$(1-\sqrt {7},3)$或$(1+\sqrt {7},3).$