《2025年金学典同步解析与测评贵州人民出版社九年级数学上册人教版》

1. 函数 $ y = -\frac{1}{2}x^2 - 1 $ 的图象与函数 $ y = -\frac{1}{2}x^2 $ 的图象有什么关系？

答案： 函数 $y = -\frac{1}{2}x^2 - 1$ 的图象是由函数 $y = -\frac{1}{2}x^2$ 的图象向下平移 $1$ 个单位长度得到的。

2. 函数 $ y = -\frac{1}{2}(x + 1)^2 $ 的图象与函数 $ y = -\frac{1}{2}x^2 $ 的图象有什么关系？

答案： 函数$ y = -\frac{1}{2}(x + 1)^2 $的图象是由函数$ y = -\frac{1}{2}x^2 $的图象向左平移1个单位长度得到的。

3. 函数 $ y = -\frac{1}{2}(x + 1)^2 - 1 $ 的图象与函数 $ y = -\frac{1}{2}x^2 $ 的图象又有什么关系？

答案： 函数 $y = -\frac{1}{2}(x + 1)^2 - 1$ 的图象是由函数 $y = -\frac{1}{2}x^2$ 的图象经过平移得到的。
首先，$y = -\frac{1}{2}x^2$ 的图象向左平移 1 个单位长度，得到函数 $y = -\frac{1}{2}(x + 1)^2$ 的图象。
接着，将 $y = -\frac{1}{2}(x + 1)^2$ 的图象向下平移 1 个单位长度，得到函数 $y = -\frac{1}{2}(x + 1)^2 - 1$ 的图象。

4. 函数 $ y = -\frac{1}{2}(x + 1)^2 - 1 $ 又有哪些性质？

答案： 函数 $ y = -\frac{1}{2}(x + 1)^2 - 1 $ 的性质：
1. 开口方向：向下（
∵ $ a = -\frac{1}{2} ＜ 0 $）。
2. 顶点坐标：$(-1, -1)$（
∵ $ h = -1, k = -1 $）。
3. 对称轴：直线 $ x = -1 $。
4. 增减性：
当 $ x ＜ -1 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大；
当 $ x ＞ -1 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小。
5. 最值：当 $ x = -1 $ 时，$ y $ 有最大值，$ y_{max} = -1 $。
6. 与坐标轴交点：
与 $ y $ 轴交点：令 $ x = 0 $，得 $ y = -\frac{1}{2}(0 + 1)^2 - 1 = -\frac{3}{2} $，即 $ (0, -\frac{3}{2}) $；
与 $ x $ 轴交点：令 $ y = 0 $，则 $ -\frac{1}{2}(x + 1)^2 - 1 = 0 $，化简得 $ (x + 1)^2 = -2 $，无实数解，故与 $ x $ 轴无交点。

1. 函数 $ y = a(x - h)^2 + k(a \neq 0) $ 的图象相当于 $ y = ax^2(a \neq 0) $ 的图象既进行了左右平移,又进行了上下平移。

答案： 左右 上下

2. 对于抛物线 $ y = a(x - h)^2 + k $,当 $ a ＞ 0 $ 时,开口向上；当 $ a ＜ 0 $ 时,开口向下。对称轴：直线 $ x = h $。顶点坐标：$ (h,k) $。增减性：当 $ a ＞ 0 $ 时,对称轴右边 $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大,对称轴左边 $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小；当 $ a ＜ 0 $ 时,对称轴右边 $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小,对称轴左边 $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大。

答案： 增大 减小 减小 增大

【例】如果将抛物线 $ y = 2(x + 1)^2 - 1 $ 向上平移 2 个单位长度,那么平移后抛物线的顶点坐标是(D)。
A.$ (0,2) $
B.$ (2,0) $
C.$ (1,1) $
D.$ (-1,1) $

答案： 解析 抛物线 $ y = 2(x + 1)^2 - 1 $ 的顶点坐标为 $ (-1,-1) $,向上平移 2 个单位长度得到 $ (-1,1) $,即平移后抛物线的顶点坐标为 $ (-1,1) $。
答案 D

· 跟踪练习 将二次函数 $ y = (x - 1)^2 + 1 $ 的图象向左平移 2 个单位长度,再向下平移 3 个单位长度后,得到新二次函数的图象,则新二次函数的解析式是(D)。
A.$ y = (x - 1)^2 + 2 $
B.$ y = (x + 1)^2 + 2 $
C.$ y = (x - 1)^2 - 2 $
D.$ y = (x + 1)^2 - 2 $

答案： D

1. 将抛物线 $ y = 2x^2 $ 平移得到抛物线 $ y = 2(x - 4)^2 + 1 $,应该(B)。
A.向右平移 1 个单位长度,再向下平移 4 个单位长度
B.向右平移 4 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度
C.向左平移 1 个单位长度,再向下平移 4 个单位长度
D.向左平移 4 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度

答案： B

2. 二次函数 $ y = 2(x - 1)^2 - 5 $ 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为(D)。
A.开口向上,对称轴为直线 $ x = -1 $,顶点坐标为 $ (-1,-5) $
B.开口向上,对称轴为直线 $ x = 1 $,顶点坐标为 $ (1,5) $
C.开口向下,对称轴为直线 $ x = 1 $,顶点坐标为 $ (1,-5) $
D.开口向上,对称轴为直线 $ x = 1 $,顶点坐标为 $ (1,-5) $

答案： D