《2025年金学典同步解析与测评贵州人民出版社九年级数学上册人教版》

【例 2】 如图 22.2 - 3,在平面直角坐标系中,抛物线 $ y = ax^2 + bx (a ＞ 0) $ 和直线 $ y = kx (k ＞ 0) $ 交于点 $ O $ 和点 $ A $,则不等式 $ ax^2 + bx ＜ kx $ 的解集为 0＜x＜3。

答案： 解析 由图 22.2 - 3 可知,抛物线与直线交点的横坐标为 $ 0 $,$ 3 $。
当 $ 0 ＜ x ＜ 3 $ 时,直线在抛物线上方,
所以不等式 $ ax^2 + bx ＜ kx $ 的解集为 $ 0 ＜ x ＜ 3 $。
答案 $ 0 ＜ x ＜ 3 $

跟踪练习 2 如图 22.2 - 4 是二次函数 $ y_1 = ax^2 + bx + c $ 和一次函数 $ y_2 = mx + n $ 的图象,观察图象,当 $ y_1 \leq y_2 $ 时,$ x $ 的取值范围为(C)。

A.$ x \geq 0 $

B.$ 0 \leq x \leq 1 $
C.$ - 2 \leq x \leq 1 $
D.$ x \leq 1 $

答案： C

【例 3】 利用函数图象求方程 $ - x^2 + 2x - 3 = - 8 $ 的实数根(结果精确到 $ 0.1 $)。

答案：
解 原方程变形为 $ - x^2 + 2x + 5 = 0 $。

作函数 $ y = - x^2 + 2x + 5 $ 的图象如图 22.2 - 5 所示。
方法 1：函数图象与 $ x $ 轴的公共点的横坐标大约是 $ - 1.4 $,$ 3.4 $,所以方程 $ - x^2 + 2x - 3 = - 8 $ 的实数根为 $ x_1 \approx - 1.4 $,$ x_2 \approx 3.4 $。
方法 2：由图象可知,抛物线与 $ x $ 轴交点的横坐标分别在 $ - 2 $ 与 $ - 1 $ 之间和 $ 3 $ 与 $ 4 $ 之间,
即方程 $ - x^2 + 2x - 3 = - 8 $ 的两实数根分别在 $ - 2 $ 与 $ - 1 $ 之间和 $ 3 $ 与 $ 4 $ 之间。
用取平均数的方法不断缩小根所在的范围,从而确定方程的近似解。
由图象可知,当 $ x = 3 $ 时,$ y ＞ 0 $；当 $ x = 4 $ 时,$ y ＜ 0 $。
取 $ 3 $ 和 $ 4 $ 的平均数 $ 3.5 $。
当 $ x = 3.5 $ 时,$ y ＜ 0 $,与 $ x = 3 $ 时的函数值异号,所以方程的一个根在 $ 3 $ 与 $ 3.5 $ 之间。
取 $ 3 $ 和 $ 3.5 $ 的平均数 $ 3.25 $。
当 $ x = 3.25 $ 时,$ y ＞ 0 $,与 $ x = 3.5 $ 时的函数值异号,所以方程的一个根在 $ 3.25 $ 与 $ 3.5 $ 之间。
取 $ 3.25 $ 和 $ 3.5 $ 的平均数 $ 3.375 $。
当 $ x = 3.375 $ 时,$ y ＞ 0 $,与 $ x = 3.5 $ 时的函数值异号,所以方程的一个根在 $ 3.375 $ 与 $ 3.5 $ 之间。
由此方法可得到原方程的一个近似实数根为 $ 3.4 $。
用同样的方法可得到原方程的另一个近似实数根为 $ - 1.4 $。
所以方程 $ - x^2 + 2x - 3 = - 8 $ 的实数根为 $ x_1 \approx - 1.4 $,$ x_2 \approx 3.4 $。