《2025年金学典同步解析与测评贵州人民出版社九年级数学上册人教版》

17. 服装厂批发某种服装,每件的成本为 65 元,规定不低于 10 件可以批发,其批发价 $ y $(元/件)与批发数量 $ x $(件)($ x $ 为正整数)之间所满足的函数关系如图所示.

(1) 求 $ y $ 与 $ x $ 之间所满足的函数关系式,并写出 $ x $ 的取值范围；
(2) 设服装厂所获得的利润为 $ w $(元),若 $ 10 \leq x \leq 50 $($ x $ 为正整数),求批发该种服装多少件时,服装厂获得的利润最大？最大利润是多少元？

答案： 【解】
(1)当$10\leqslant x\leqslant50$时，设$y$与$x$的函数关系式为$y = kx + b(k\neq0)$，将$(10,100)$，$(50,80)$代入，得$\begin{cases}10k + b = 100\\50k + b = 80\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-0.5\\b = 105\end{cases}$，所以当$10\leqslant x\leqslant50$时，$y$与$x$的函数关系式为$y=-0.5x + 105$；由题图可知，当$x\gt50$时，$y = 80$，所以$y$与$x$的函数关系式为$y=\begin{cases}-0.5x + 105(10\leqslant x\leqslant50)\\80(x\gt50)\end{cases}$。
(2)由题意，得$w=(-0.5x + 105 - 65)x=-0.5x^{2}+40x=-0.5(x - 40)^{2}+800$。因为$10\leqslant x\leqslant50$，所以当$x = 40$时，$w$取得最大值，此时$w_{最大}=800$。答：批发该种服装40件时，服装厂获得的利润最大，最大利润是800元。

18. 如图,抛物线 $ y = \frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{2}x - 2 $ 与 $ x $ 轴交于 $ A $,$ B $ 两点(点 $ A $ 在点 $ B $ 的左侧),与 $ y $ 轴交于点 $ C $,点 $ D $ 与点 $ C $ 关于 $ x $ 轴对称.

(1) 求点 $ A $,$ B $,$ C $ 的坐标；
(2) 求直线 $ BD $ 的解析式；
(3) 在直线 $ BD $ 下方的抛物线上是否存在一点 $ P $,使得 $ \triangle PBD $ 的面积最大？若存在,求出点 $ P $ 的坐标；若不存在,请说明理由.

答案： 【解】
(1)令$y = 0$，则$\frac{1}{2}x^{2}-\frac{3}{2}x - 2 = 0$，解得$x_{1}=-1$，$x_{2}=4$，所以$A(-1,0)$，$B(4,0)$。令$x = 0$，则$y=-2$，所以$C(0,-2)$。
(2)因为$C$，$D$两点关于$x$轴对称，$C(0,-2)$，所以$D(0,2)$。设直线$BD$的解析式为$y = kx + b(k\neq0)$，将$B(4,0)$，$D(0,2)$代入解析式，得$\begin{cases}4k + b = 0\\b = 2\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-\frac{1}{2}\\b = 2\end{cases}$，所以直线$BD$的解析式为$y=-\frac{1}{2}x + 2$。
(3)存在一点$P$，使得$\triangle PBD$的面积最大。设点$P$的坐标为$(m,\frac{1}{2}m^{2}-\frac{3}{2}m - 2)$。如图，过点$P$作$PE\perp x$轴于点$F$，与$BD$交于点$E$，则点$E$的坐标为$(m,-\frac{1}{2}m + 2)$，所以$PE=(-\frac{1}{2}m + 2)-(\frac{1}{2}m^{2}-\frac{3}{2}m - 2)=-\frac{1}{2}m^{2}+m + 4$，所以$S_{\triangle PBD}=\frac{1}{2}PE\cdot OB=\frac{1}{2}×(-\frac{1}{2}m^{2}+m + 4)×4=-m^{2}+2m + 8=-(m - 1)^{2}+9$。当$m = 1$时，$S_{\triangle PBD}$取得最大值，最大值为9，此时$\frac{1}{2}m^{2}-\frac{3}{2}m - 2=-3$，所以点$P$的坐标为$(1,-3)$。