《2025年金学典同步解析与测评贵州人民出版社九年级数学上册人教版》

二次函数的最值在销售问题中的应用：
(1)单件利润 $=$ 售价 $-$成本；
(2)总利润 $=$ 单件利润 $×$件数。

答案：
(1)成本
(2)件数

【例】某电商平台销售某款儿童玩具,进价为每件 $10$ 元,在销售过程中发现,每周的销售量 $y$(件)与每件玩具的售价 $x$(元)之间满足一次函数关系。当每件玩具的售价为 $12$ 元时,每周的销售量为 $80$ 件；当每件玩具的售价为 $14$ 元时,每周的销售量为 $40$ 件。
(1)求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式(其中 $10\leqslant x\leqslant16$,且 $x$ 为整数)；
(2)当每件玩具的售价为多少元时,该电商平台每周销售这款玩具所获利润最大？最大周利润是多少元？

答案： 解
(1)设 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式为 $y = kx + b$。
由题意,得 $\begin{cases}12k + b = 80,\\14k + b = 40,\end{cases} $
解得 $\begin{cases}k= -20,\\b = 320,\end{cases} $
所以 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式为 $y= -20x + 320$(其中 $10\leqslant x\leqslant16$,且 $x$ 为整数)。
(2)设每周销售这款玩具所获利润为 $W$ 元。
由题意,得 $W= (-20x + 320)(x - 10)$
$=-20x^{2}+320x + 200x - 3200$
$=-20x^{2}+520x - 3200$
$=-20(x - 13)^{2}+180$。
因为 $-20＜0$,$10\leqslant x\leqslant16$,且 $x$ 为整数,
所以当 $x = 13$ 时,$W$ 最大,最大为 $180$。
即当每件玩具的售价为 $13$ 元时,该电商平台每周销售这款玩具所获利润最大,最大周利润是 $180$ 元。

某品牌运动鞋很受顾客的喜爱,一家商场正在火热售卖该品牌运动鞋,每日销售量 $y$(双)与销售单价 $x$(元)之间存在一次函数关系,如表 22.3 - 1 所示。已知该品牌运动鞋的成本为 $150$ 元/双。

(1)求出 $y$ 关于 $x$ 的函数关系式(要求写出自变量 $x$ 的取值范围)；
(2)当销售单价为多少元时,每日的销售利润最大？最大利润为多少元？

答案：
(1)设$y$关于$x$的函数关系式为$y = kx + b(k\neq0)$.
依题意,得$\begin{cases}180k + b = 160,\\190k + b = 140,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k = -2,\\b = 520,\end{cases}$
所以$y$关于$x$的函数关系式为$y = -2x + 520(150\leqslant x\leqslant260)$.
(2)设每日的销售利润为$w$元.
依题意,得$w = (x - 150)y = (x - 150)\cdot(-2x + 520)= -2(x - 205)^{2}+6050$.
因为$-2＜0$,$150\leqslant x\leqslant260$,
所以当$x = 205$时,$w$有最大值,$w_{最大} = 6050$.
答:当销售单价为205元时,每日的销售利润最大,最大利润为6050元.