《2025年金学典同步解析与测评贵州人民出版社九年级数学上册人教版》

16. 如图,在等腰直角$\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$D为AB$边上一点,连接$CD$,将$CD绕点C逆时针旋转90^{\circ}得到CE$,连接$AE$。

(1)求证：$AE = BD$；
(2)若$AD = 3\sqrt{2}$,$BD = \sqrt{2}$,求四边形$AECD$的面积。

答案： 【证明】
(1)因为将CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，所以CD = CE，∠DCE = 90°.又因为∠ACB = 90°，所以∠ACB - ∠ACD = ∠DCE - ∠ACD，即∠ACE = ∠BCD.因为△ABC为等腰直角三角形，所以AC = BC.在△ACE和△BCD中，{CE = CD，∠ACE = ∠BCD，AC = BC，所以△ACE ≌ △BCD（SAS），所以AE = BD.【解】
(2)因为AD = 3√2，BD = √2，所以AB = AD + BD = 4√2.设AC = BC = x，根据勾股定理，得AC² + BC² = AB²，则x² + x² = (4√2)²，解得x₁ = 4，x₂ = -4（负值舍去），所以AC = BC = 4.由
(1)知△ACE ≌ △BCD，所以S△ACE = S△BCD，所以S四边形AECD = S△ACE + S△ACD = S△BCD + S△ACD = S△ABC = 1/2AC·BC = 8.

17. 在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$\angle ABC = 30^{\circ}$,将$\triangle ABC绕点B顺时针旋转一定的角度\alpha得到\triangle DBE$,点$A$,$C的对应点分别是点D$,$E$。
(1)根据题意可知$\angle DBE = $______；
(2)如图(1),连接$AD$,当点$E恰好在AB$边上时,求$\angle ADE$的度数；
(3)如图(2),若$\alpha = 60^{\circ}$,$F是AB$的中点,连接$CE$,$DF$,判断$DF和CE$是否相等,并证明你的结论。

答案：
【解】
(1)30°
(2)因为△DBE是由△ABC旋转得到，所以AB = BD，∠ABC = ∠ABD = 30°，∠ACB = ∠BED = 90°，所以∠BAD = ∠BDA = (180° - ∠ABD)/2 = 75°，所以∠ADE = ∠BED - ∠BAD = 15°.
(3)DF = CE.证明：连接CF. 因为F是AB的中点，∠ACB = 90°，∠ABC = 30°，所以CF = 1/2AB = AF = BF = AC，∠A = 60°.因为△DBE是由△ABC旋转60°得到，所以∠CBE = ∠ABD = 60°，BC = BE，AB = DB，所以△CBE为等边三角形，所以CE = BC = BE.在△ABC和△BDF中，{AB = BD，∠A = ∠ABD = 60°，AC = BF，所以△ABC ≌ △BDF（SAS），所以BC = DF，所以DF = CE.