《2025年金学典同步解析与测评贵州人民出版社九年级数学上册人教版》

看到下面的对话,你还记得求一次函数解析式的方法吗？
小明说：“给我几个点的坐标,我就能求出对应的二次函数解析式,你会吗？”
小亮说：“那有什么难的？不就和求一次函数解析式一样的吗？”

答案： 求一次函数解析式用待定系数法，设$y=kx+b$（$k\neq0$），代入两点坐标解方程组；二次函数也用待定系数法，通常设一般式需三点坐标。

1. 已知三点求二次函数的解析式——设一般式：$y=ax^{2}+bx+c(a≠0)$。

答案： $y=ax^{2}+bx+c(a≠0)$

2. 已知抛物线顶点和图象上另外一点求二次函数的解析式——设顶点式：$y=a(x-h)^{2}+k(a≠0)$,其中 $ (h,k) $ 为抛物线的顶点坐标。

答案： $y=a(x-h)^{2}+k(a≠0)$

3. 已知抛物线与 $ x $ 轴的两交点和图象上另外一点求二次函数的解析式——设交点式：$y=a(x-x_{1})(x-x_{2})(a≠0)$,其中 $ (x_1,0) $,$ (x_2,0) $ 为抛物线与 $ x $ 轴的交点坐标。

答案： $y=a(x-x_{1})(x-x_{2})(a≠0)$

【例 1】已知二次函数中,当 $ x = 1 $ 时,函数有最大值为 $ -4 $,且图象经过点 $ (2,-6) $,求此二次函数的解析式。

答案： 解 因为当 $ x = 1 $ 时,函数有最大值为 $ -4 $,
所以抛物线的顶点坐标为 $ (1,-4) $。
设所求二次函数的解析式为 $ y = a(x - 1)^2 - 4 $。
把 $ (2,-6) $ 代入,得 $ a × (2 - 1)^2 - 4 = -6 $,解得 $ a = -2 $。
所以此二次函数的解析式为 $ y = -2(x - 1)^2 - 4 = -2x^2 + 4x - 6 $。

· 跟踪练习 1 已知抛物线与二次函数 $ y = -5x^2 $ 的图象形状相同,开口方向相同,且顶点坐标为 $ (-1,2025) $,则它对应的函数解析式为(D)。
A.$ y = -5(x - 1)^2 + 2025 $
B.$ y = 5(x - 1)^2 + 2025 $
C.$ y = 5(x + 1)^2 + 2025 $
D.$ y = -5(x + 1)^2 + 2025 $

答案： D

【例 2】已知抛物线的对称轴为直线 $ x = -3 $,且经过点 $ A(-1,0) $,$ B(-2,-6) $。求抛物线的解析式。

答案： 解 因为点 $ A(-1,0) $ 关于直线 $ x = -3 $ 的对称点是 $ (-5,0) $,所以设抛物线的解析式为 $ y = a(x + 1)(x + 5) $。
把点 $ B(-2,-6) $ 的坐标代入解析式,
得 $ a(-2 + 1)(-2 + 5) = -6 $,解得 $ a = 2 $。
所以抛物线的解析式为 $ y = 2(x + 1)(x + 5) = 2x^2 + 12x + 10 $。