《2025年金学典同步解析与测评贵州人民出版社九年级数学上册人教版》

某省文物考古研究所从某县一座唐代墓葬中出土了半面铜镜(图 24.2 - 1),那么你有什么方法使得它能“破镜重圆”呢？

答案： 在半面铜镜圆弧上任取三点，作两条弦的垂直平分线确定圆心，再以圆心到圆弧上点的距离为半径画圆即可重圆。

1. 设$\odot O的半径为r$,点$P到圆心的距离OP = d$,则有：
点$P$在圆外$\Leftrightarrow d ＞ r$；
点$P在圆上\Leftrightarrow d$＝$r$；
点$P$在圆内$\Leftrightarrow d ＜ r$。

答案： 1. 圆外 ＝ 圆内

2. 过已知点作圆：过一点可以作无数个圆；过两点可以作无数个圆,这些圆的圆心在两点连线的垂直平分线上；过不在同一条直线上的三点可以作一个圆。

答案： 2. 无数 无数 垂直平分线 一

3. 经过三角形的三个顶点可以作一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆。

答案： 3. 圆 外接圆

4. 三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点,其中直角三角形的外心是斜边的中点,锐角三角形的外心在三角形的内部,钝角三角形的外心在三角形的外部。

答案： 4. 三条边的垂直平分线 斜边 内部 外部

5. 先假设命题的结论不成立,由此经过推理得出矛盾,由矛盾断定所作假设不正确,从而得到原命题成立,这种方法叫做反证法。

答案： 5. 反证法

【例】如图 24.2 - 2 为一圆弧形钢梁,该钢梁的拱高为 4 m,跨径$AB$为 16 m。
(1)用尺规作出该圆弧所在圆的圆心；
(2)求这个钢梁圆弧所在圆的半径长。

答案：
解
(1)如图 24.2 - 3,在圆弧上任意找一点$E$,连接$AE$。分别作$AE$,$AB$的垂直平分线,交点$O$即为所求。

(2)如图 24.2 - 3,连接$OB$,记$AB的垂直平分线交AB于点C$,交$\overset{\frown}{AB}于点D$。
设$OB = OD = r$ m。
因为$OD\perp AB$,
所以$AC = CB = \frac{1}{2}AB = 8$ m。
由题意,得$CD = 4$ m,
所以$OC = (r - 4)$m。
则在$Rt\triangle OBC$中,
有$r^{2} = 8^{2} + (r - 4)^{2}$,解得$r = 10$,
所以这个钢梁圆弧所在圆的半径长为 10 m。