《2025年金学典同步解析与测评贵州人民出版社九年级数学上册人教版》

1. 直接开平方法解一元二次方程的步骤有哪些？

答案： 【解析】：1. 将方程化为左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负常数的形式，即$x^2 = p$或$(mx + n)^2 = p$（$p\geq0$）；2. 直接开平方，得$x = \pm\sqrt{p}$或$mx + n = \pm\sqrt{p}$；3. 解一元一次方程，求出未知数的值。
【答案】：上述步骤

2. 能否将左边不是完全平方式的方程转化为可以直接降次的形式再求解呢？

答案： 能

1. 通过把一元二次方程配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫做配方法。

答案： 完全平方

2. 用配方法解二次项系数不为 1 的一元二次方程的基本步骤：
(1)将方程化成一般形式；
(2)将二次项系数化为1,方程的两边都除以二次项系数或乘二次项系数的倒数,且将常数项移到等号的右边；
(3)方程的两边都加上一次项系数的一半的平方；
(4)把方程的左边写成完全平方式,右边是一个常数；
(5)根据直接开平方法解方程。

答案：
(1)一般形式
(2)二次项 1 二次项系数 倒数 常数项
(3)一次项系数的一半的平方
(4)完全平方式

【例】用配方法解下列方程：
(1)$x^{2}+4x + 4 = 0$；
(2)$2x^{2}-x - 1 = 0$；
(3)$2x^{2}-3x + 2 = 0$。

答案： 解
(1)移项,得$x^{2}+4x = -4$。
配方,得$x^{2}+4x + 2^{2}= -4 + 2^{2}$,
即$(x + 2)^{2}= 0$,所以$x_{1}= x_{2}= -2$。
(2)移项,得$2x^{2}-x = 1$。
二次项系数化为 1,得$x^{2}-\frac{1}{2}x= \frac{1}{2}$。
配方,得$x^{2}-\frac{1}{2}x + (-\frac{1}{4})^{2}= \frac{1}{2}+(-\frac{1}{4})^{2}$,
即$(x - \frac{1}{4})^{2}= \frac{9}{16}$。
由此可得$x - \frac{1}{4}= ±\frac{3}{4}$,
所以$x_{1}= 1,x_{2}= -\frac{1}{2}$。
(3)移项,得$2x^{2}-3x = -2$。
二次项系数化为 1,得$x^{2}-\frac{3}{2}x = -1$。
配方,得$x^{2}-\frac{3}{2}x + (-\frac{3}{4})^{2}= -1 + (-\frac{3}{4})^{2}$,
即$(x - \frac{3}{4})^{2}= -\frac{7}{16}$。
因为任何实数的平方都不会是负数,
所以原方程无实数根。