《2025年金学典同步解析与测评贵州人民出版社九年级数学上册人教版》

在大学的毕业典礼上,毕业生们高兴地将学士帽一起高高抛向空中。我们知道将一个物体抛向空中,高度与时间将成二次函数关系,那么你知道学士帽最多可以抛多高吗？

答案： 本题可先设出高度$h$与时间$t$的二次函数关系式，再根据二次函数的性质求出学士帽能达到的最大高度。
步骤一：设二次函数关系式
设高度$h$与时间$t$的二次函数关系式为$h = at^{2}+bt + c$（$a\neq0$），其中$a$、$b$、$c$为常数。
由于物体被抛向空中，其运动过程符合二次函数的一般形式，且二次项系数$a\lt0$（因为物体先上升后下降，函数图象开口向下）。
步骤二：求函数的最大值
对于二次函数$y = ax^{2}+bx + c$（$a\neq0$），其对称轴公式为$t = -\frac{b}{2a}$，当$t = -\frac{b}{2a}$时，函数取得最值。
因为$a\lt0$，所以函数在$t = -\frac{b}{2a}$处取得最大值。
将$t = -\frac{b}{2a}$代入$h = at^{2}+bt + c$中，可得：
$\begin{aligned}h_{max}&=a(-\frac{b}{2a})^{2}+b(-\frac{b}{2a}) + c\\&=a×\frac{b^{2}}{4a^{2}}-\frac{b^{2}}{2a} + c\\&=\frac{b^{2}}{4a}-\frac{b^{2}}{2a} + c\\&=c-\frac{b^{2}}{4a}\end{aligned}$
所以，学士帽最多可以抛的高度为$c-\frac{b^{2}}{4a}$（其中$a$、$b$、$c$为高度$h$与时间$t$的二次函数$h = at^{2}+bt + c$（$a\neq0$）中的系数）。
综上，答案为$\boldsymbol{c-\frac{b^{2}}{4a}}$（其中$a$、$b$、$c$为高度$h$与时间$t$的二次函数$\boldsymbol{h = at^{2}+bt + c}$（$\boldsymbol{a\neq0}$）中的系数）。

利用二次函数解决图形面积的最大值问题：把实际问题中变量之间的关系用二次函数模型来刻画,利用二次函数的图象和性质来解决实际问题。

答案： 二次函数 图象和性质

【例】某居民小区要在一块一边靠墙的空地上修建一个矩形花园 $ABCD$,花园的一边靠墙(墙长 $15$ m),另三边用总长 $40$ m 的栅栏围成(图 22.3 - 1)。若设花园的边 $AB$ 的长为 $x$ m,花园的面积为 $y$ $m^{2}$。

(1)求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式,并写出自变量 $x$ 的取值范围；
(2)此花园的面积能否达到 $150$ $m^{2}$？若能,请求出 $x$ 的值；若不能,请说明理由；
(3)当 $x$ 是多少时,花园的面积 $y$ 最大？最大面积是多少？

答案： 解
(1)由题意可知,$AB = x$ m,
则 $BC= (40 - 2x)$m,
所以 $y = x(40 - 2x)= -2x^{2}+40x$。
因为墙长 $15$ m,
所以 $\begin{cases}x＞0,\\40 - 2x＞0,\\40 - 2x\leqslant15,\end{cases} $
自变量 $x$ 的取值范围是 $12.5\leqslant x＜20$。
(2)此花园的面积能达到 $150$ $m^{2}$。
令 $-2x^{2}+40x = 150$,
解得 $x_{1}= 5$(不合题意,舍去),$x_{2}= 15$,
所以当 $x = 15$ 时,花园的面积能达到 $150$ $m^{2}$。
(3)$y= -2x^{2}+40x$,
因为 $-2＜0$,
抛物线的对称轴为 $x = -\frac{40}{2×(-2)} = 10$,
所以当 $12.5\leqslant x＜20$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而减小,
所以 $x = 12.5$ 时,$y$ 的最大值为 $187.5$,
即当 $x$ 为 $12.5$ m 时,花园的面积 $y$ 最大,最大面积是 $187.5$ $m^{2}$。