《2025年金学典同步解析与测评贵州人民出版社九年级数学上册人教版》

1. 填一填：二次函数 $ y = 2x^2 $ 的图象是抛物线,它的开口向____上,顶点坐标是____(0,0)；对称轴是____y轴（或直线x=0）,在对称轴的左侧,$ y $ 随 $ x $ 的增大而____减小,在对称轴的右侧,$ y $ 随 $ x $ 的增大而____增大；当 $ x = $____0时,取最____小值,其最____小值是____0。二次函数 $ y = -2x^2 $ 呢？

答案： 抛物线；上；(0,0)；y轴（或直线x=0）；减小；增大；0；小；小；0；抛物线；下；(0,0)；y轴（或直线x=0）；增大；减小；0；大；大；0

2. 二次函数 $ y = 2x^2 + 1 $ 和 $ y = 2x^2 - 1 $ 的图象与二次函数 $ y = 2x^2 $ 的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同？你将采取什么方法加以研究？

答案： 对于二次函数 $y = 2x^2 + 1$，$y = 2x^2 - 1$ 和 $y = 2x^2$：
开口方向：
由于三个函数的二次项系数 $a = 2 ＞ 0$，所以它们的开口方向都是向上。
对称轴：
对于 $y = 2x^2$，对称轴为 $x = 0$（即y轴）。
对于 $y = 2x^2 + 1$，对称轴同样为 $x = 0$（即y轴）。
对于 $y = 2x^2 - 1$，对称轴还是 $x = 0$（即y轴）。
顶点坐标：
对于 $y = 2x^2$，顶点坐标为 $(0, 0)$。
对于 $y = 2x^2 + 1$，顶点坐标为 $(0, 1)$。
对于 $y = 2x^2 - 1$，顶点坐标为 $(0, -1)$。
研究方法：
通过比较三个函数的二次项系数 $a$，可以确定它们的开口方向是否相同。
通过观察函数形式，可以确定它们的对称轴是否相同。
通过代入 $x = 0$ 到三个函数中，可以求出它们的顶点坐标。
结论：
三个函数的开口方向相同，都是向上。
三个函数的对称轴相同，都是 $x = 0$（即y轴）。
三个函数的顶点坐标不同，分别为 $(0, 0)$，$(0, 1)$ 和 $(0, -1)$。

1. 函数 $ y = ax^2 + k(a \neq 0) $ 的图象相当于 $ y = ax^2(a \neq 0) $ 的图象进行了上下平移。

答案： 上下

2. 对于抛物线 $ y = ax^2 + k $,当 $ a ＞ 0 $ 时,开口向上；当 $ a ＜ 0 $ 时,开口向下。对称轴：$ y $ 轴。顶点坐标：$ (0,k) $。增减性：当 $ a ＞ 0 $ 时,对称轴右边 $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大,对称轴左边 $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小；当 $ a ＜ 0 $ 时,对称轴右边 $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小,对称轴左边 $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大。

答案： 增大 减小 减小 增大

【例】把抛物线 $ y = -2x^2 $ 沿 $ y $ 轴平移 3 个单位长度,所得抛物线的解析式为$ y = -2x^2 + 3 $ 或 $ y = -2x^2 - 3 $。

答案： 答案 $ y = -2x^2 + 3 $ 或 $ y = -2x^2 - 3 $

· 跟踪练习 将抛物线 $ y = x^2 $ 平移得到抛物线 $ y = x^2 + 5 $,下列叙述正确的是(A)。
A.向上平移 5 个单位长度
B.向下平移 5 个单位长度
C.向左平移 5 个单位长度
D.向右平移 5 个单位长度

答案： A

1. 二次函数 $ y = x^2 + 1 $ 的图象大致是(C)。

答案： C