《2025年金学典同步解析与测评贵州人民出版社九年级数学上册人教版》

6. 一座隧道的截面由抛物线和长方形构成,长方形的长为 $8$ m,宽为 $2$ m,隧道最高点 $P$ 位于 $AB$ 的中央且距地面 $6$ m,建立如图的坐标系。

(1)求抛物线的解析式；
(2)该隧道内设双行道,中间隔离带宽 $1$ m,一辆高 $4$ m,宽 $2.5$ m 的货车能否安全通过？为什么？

答案：
(1)设抛物线的解析式为$y = a(x - h)^{2}+k$.
由题意知,抛物线的顶点为$(4,6)$,
所以$y = a(x - 4)^{2}+6$.
因为抛物线过点$(0,2)$,
所以$a(0 - 4)^{2}+6 = 2$,
解得$a = -\dfrac{1}{4}$,
所以抛物线的解析式为$y = -\dfrac{1}{4}(x - 4)^{2}+6$.
(2)不能安全通过.
理由:$(8 - 1)÷2 - 2.5 = 1(m)$.
当$x = 1$时,$y=\dfrac{15}{4}＜4$,
所以该货车不能安全通过隧道.

7. 如图是一座抛物线形桥拱的示意图,在以其左侧桥墩与水面接触点为原点建立的平面直角坐标系下,经测量得水面宽度 $OB = 20$ m,拱顶 $A$ 到水面的距离为 $5$ m。

(1)求这条抛物线的函数解析式；
(2)为迎接新年,管理部门在桥下对称地悬挂了 $11$ 个长为 $40$ cm 的灯笼,且相邻两个灯笼悬挂点的水平距离均为 $1.6$ m,中间的灯笼正好悬挂在 $A$ 处,为了安全,要求灯笼的最低处到水面的距离不得小于 $1$ m。根据气象局预报,过年期间将会有一定量的降雨,桥下水面会上升 $30$ cm,请通过计算说明,现在的悬挂方式是否安全。

答案：
(1)由题意得,顶点$A$的坐标为$(10,5)$,
所以设抛物线的解析式为$y = a(x - 10)^{2}+5$.
将$(0,0)$代入,得$0 = 100a + 5$,
解得$a = -\dfrac{1}{20}$,
所以$y = -\dfrac{1}{20}(x - 10)^{2}+5$.
(2)由题意得,最左侧灯笼悬挂点到点$A$的水平距离为$1.6×5 = 8(m)$,
所以它的横坐标为$10 - 8 = 2$.
当$x = 2$时,$y = -\dfrac{1}{20}(2 - 10)^{2}+5 = 1.8$.
因为灯笼长为40cm,即0.4m,桥下水面会上升30cm,即0.3m,
所以$1.8 - 0.4 - 0.3 = 1.1＞1$,
所以现在的悬挂方式是安全的.