《2025年金学典同步解析与测评贵州人民出版社九年级数学上册人教版》

1. 将二次函数 $ y = 4x^{2} - 8x - 1 $ 等号右边配方得$4(x - 1)^2 - 5$.

答案： $4(x - 1)^2 - 5$

2. 你能说出函数 $ y = 4x^{2} - 8x - 1 $ 图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？

答案： 开口方向
因为二次项系数 $ a = 4 ＞ 0 $，所以抛物线开口向上。
对称轴
对称轴公式为 $ x = -\frac{b}{2a} $，其中 $ a = 4 $，$ b = -8 $。
代入得：$ x = -\frac{-8}{2 × 4} = \frac{8}{8} = 1 $。
故对称轴为直线 $ x = 1 $。
顶点坐标
将 $ x = 1 $ 代入函数 $ y = 4x^2 - 8x - 1 $：
$ y = 4(1)^2 - 8(1) - 1 = 4 - 8 - 1 = -5 $。
故顶点坐标为 $ (1, -5) $。
结论：
开口方向：向上；
对称轴：直线 $ x = 1 $；
顶点坐标：$ (1, -5) $。

3. 函数 $ y = 4x^{2} - 8x - 1 $ 的图象与函数 $ y = 4x^{2} $ 的图象有什么关系？

答案： 将函数$y = 4x^2 - 8x - 1$配方：
$y = 4(x^2 - 2x) - 1 = 4[(x - 1)^2 - 1] - 1 = 4(x - 1)^2 - 5$，其顶点式为$y = 4(x - 1)^2 - 5$，顶点坐标为$(1, -5)$。
函数$y = 4x^2$的顶点式为$y = 4(x - 0)^2 + 0$，顶点坐标为$(0, 0)$。
因为两函数二次项系数均为4，开口方向和大小相同；顶点从$(0, 0)$平移到$(1, -5)$，根据“左加右减，上加下减”，需向右平移1个单位长度，再向下平移5个单位长度。
结论：函数$y = 4x^2 - 8x - 1$的图象是由函数$y = 4x^2$的图象向右平移1个单位长度，再向下平移5个单位长度得到的。

1. 用配方法将二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 化成 $ y = a(x - h)^{2} + k $ 的形式,即 $ y = ax^{2} + bx + c = a\left(x + $\frac{b}{2a}$\right)^{2} + $\frac{4ac-b^{2}}{4a}$$.

答案： $\frac{b}{2a}$ $\frac{4ac-b^{2}}{4a}$

2. 对于抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c $,当 $ a ＞ 0 $ 时,开口向上；当 $ a ＜ 0 $ 时,开口向下.对称轴：直线 $ x = -\frac{b}{2a} $.顶点坐标：$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^{2}}{4a})$.增减性：当 $ a ＞ 0 $ 时,对称轴右边 $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大,对称轴左边 $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小；当 $ a ＜ 0 $ 时,对称轴右边 $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小,对称轴左边 $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大.

答案： $(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^{2}}{4a})$ 增大 减小 减小 增大

【例】如图 22.1 - 3,二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的图象与 $ x $ 轴交于 $ A $,$ B $ 两点,与 $ y $ 轴交于 $ C $ 点,且对称轴为直线 $ x = 1 $,点 $ B $ 的坐标为 $ (-1,0) $,则下面的几个结论：① $ abc ＜ 0 $；② $ 4a + 2b + c ＞ 0 $；③ $ 2c + 3b = 0 $；④ $ a + b \geqslant m(am + b) $($ m $ 为实数),其中正确的有(C).

A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个

答案： 解析 因为抛物线的开口向下,所以 $ a ＜ 0 $.因为对称轴为 $ x = -\frac{b}{2a} = 1 $,所以 $ b = -2a ＞ 0 $.因为抛物线与 $ y $ 轴交于正半轴,所以 $ c ＞ 0 $,所以 $ abc ＜ 0 $,故①正确；
因为对称轴为 $ x = 1 $,所以 $ x = 2 $ 与 $ x = 0 $ 时的函数值相等,即 $ 4a + 2b + c = c ＞ 0 $,故②正确；
因为图象过点 $ (-1,0) $,$ b = -2a $,所以 $ a - b + c = -\frac{1}{2}b - b + c = -\frac{3b}{2} + c = 0 $,所以 $ 2c - 3b = 0 $,故③错误；
因为抛物线的开口向下,所以当 $ x = 1 $ 时,函数值最大,即 $ a + b + c \geqslant am^{2} + bm + c $,所以 $ a + b \geqslant m(am + b) $,故④正确.
综上,正确的有 3 个.
答案 C