《2025年金学典同步解析与测评贵州人民出版社九年级数学上册人教版》

有下列情境：①时钟上的秒针在不停地转动；②大风车的转动；③飞速转动的电风扇叶片；④汽车上的方向盘。
问题：
(1)上面情境中的转动现象,有什么共同特征？
(2)钟表的指针、钟摆在转动过程中,其形状、大小、位置是否发生改变？汽车方向盘的转动呢？

答案：
(1)都是绕着一个固定的点转动一定的角度；
(2)钟表的指针、钟摆形状和大小不变，位置改变；汽车方向盘形状和大小不变，位置改变。

1. 旋转的概念：把一个平面图形绕着平面内某一点 $ O $ 转动一个角度,叫做图形的旋转,点 $ O $ 叫做旋转中心,转动的角叫做旋转角。

答案： 旋转 旋转中心 旋转角

2. 旋转的性质：
(1)对应点到旋转中心的距离相等；
(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
(3)旋转前、后的图形全等。

答案：
(1)相等
(2)旋转角
(3)全等

3. 利用旋转的性质作图：
(1)确定旋转的三要素——旋转中心、旋转方向、旋转角；
(2)在原图中找到关键点,作出图形关键点旋转后的对应点；
(3)按一定的顺序连接各对应点。

答案：
(1)旋转中心 旋转方向 旋转角
(2)关键点 对应点
(3)对应点

【例】如图 23.1 - 1,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AB = 8 $,将 $ \triangle ABC $ 绕点 $ B $ 逆时针旋转 $ 30^{\circ} $ 得到 $ \triangle A_{1}BC_{1} $,则阴影部分的面积为______。

答案：
解析 如图 23.1 - 2,过点 $ A $ 作 $ AD \perp A_{1}B $ 于点 $ D $。

在 $ \triangle ABC $ 中,$ AB = 8 $,将 $ \triangle ABC $ 绕点 $ B $ 逆时针旋转 $ 30^{\circ} $ 得到 $ \triangle A_{1}BC_{1} $,
所以 $ \triangle ABC \cong \triangle A_{1}BC_{1} $。
所以 $ A_{1}B = AB = 8 $。
所以 $ \triangle A_{1}BA $ 是等腰三角形,且 $ \angle A_{1}BA = 30^{\circ} $。
因为 $ AD \perp A_{1}B $,
所以 $ AD = \frac{1}{2}AB = 4 $。
所以 $ S_{\triangle A_{1}BA} = \frac{1}{2} × 8 × 4 = 16 $。
又因为 $ S_{阴影部分} = S_{\triangle A_{1}BA} + S_{\triangle A_{1}BC_{1}} - S_{\triangle ABC} $,且 $ S_{\triangle A_{1}BC_{1}} = S_{\triangle ABC} $,
所以 $ S_{阴影部分} = S_{\triangle A_{1}BA} = 16 $。
答案 16