《2025年金学典同步解析与测评贵州人民出版社九年级数学上册人教版》

一元二次方程的一般形式及求根公式是什么？一元二次方程的根与方程的系数之间有怎样的关系？

答案： 【解析】：一元二次方程的一般形式为$ax^2 + bx + c = 0$（$a\neq0$，$a$、$b$、$c$为常数）；求根公式为$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$（$b^2 - 4ac \geq 0$）。若一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a\neq0$）的两根为$x_1$、$x_2$，则根与系数的关系为$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，$x_1x_2 = \frac{c}{a}$。
【答案】：一元二次方程的一般形式为$ax^2 + bx + c = 0$（$a\neq0$），求根公式为$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$（$b^2 - 4ac \geq 0$）；根与系数的关系为两根之和等于$-\frac{b}{a}$，两根之积等于$\frac{c}{a}$。

若一元二次方程 $ax^{2}+bx+c = 0$ 的两个根是 $x_{1},x_{2}$,则 $x_{1}+x_{2}= $$-\dfrac{b}{a}$,$x_{1}x_{2}= $$\dfrac{c}{a}$。

答案： $-\dfrac{b}{a}$ $\dfrac{c}{a}$

【例 1】已知一元二次方程 $x^{2}+3x - 1 = 0$ 的两个根是 $x_{1},x_{2}$,请利用根与系数的关系求下列各式的值：
(1)$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$；(2)$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}$。

答案： 解 根据一元二次方程的根与系数的关系,得 $x_{1}+x_{2}= -3$,$x_{1}x_{2}= -1$。
(1)$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}= (x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}= (-3)^{2}-2×(-1)= 11$。
(2)$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}= \frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}= \frac{-3}{-1}= 3$。

- 跟踪练习 1 已知 $x_{1},x_{2}$ 是一元二次方程 $x^{2}-3x - 1 = 0$ 的两个根,不解方程求下列各式的值：
(1)$x_{1}+x_{2}$；(2)$x_{1}x_{2}$；
(3)$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$；(4)$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}$。

答案： 【解】
(1)$x_{1}+x_{2}=3$.
(2)$x_{1}x_{2}=-1$.
(3)$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}$
$=3^{2}-2×(-1)=11$.
(4)$\dfrac{1}{x_{1}}+\dfrac{1}{x_{2}}=\dfrac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}=\dfrac{3}{-1}=-3$.

【例 2】已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-mx - 2 = 0$。若 $x = -1$ 是方程的一个根,求 $m$ 的值和方程的另一个根。

答案： 解 方法 1：设方程的另一个根为 $x = n$,
则 $\begin{cases}-1 + n = m,\\-1× n = -2,\end{cases} $
解得 $\begin{cases}m = 1,\\n = 2.\end{cases} $
所以 $m = 1$,方程的另一个根是 $x = 2$。
方法 2：把 $x = -1$ 代入方程,得 $1 + m - 2 = 0$,解得 $m = 1$。
所以原方程为 $x^{2}-x - 2 = 0$,
解得 $x_{1}= -1,x_{2}= 2$。
所以方程的另一个根是 $x = 2$。