《2025年金学典同步解析与测评贵州人民出版社九年级数学上册人教版》

用配方法解下列方程：
(1)$6x^{2}-7x + 1 = 0$；(2)$4x^{2}-3x = 52$.
我们还能用其他方法解这两个一元二次方程吗？

答案：
(1)
$6x^{2}-7x + 1 = 0$
两边同除以6：$x^{2}-\frac{7}{6}x+\frac{1}{6}=0$
移项：$x^{2}-\frac{7}{6}x=-\frac{1}{6}$
配方：$x^{2}-\frac{7}{6}x+(\frac{7}{12})^{2}=-\frac{1}{6}+(\frac{7}{12})^{2}$
即$(x-\frac{7}{12})^{2}=\frac{25}{144}$
开平方：$x-\frac{7}{12}=\pm\frac{5}{12}$
解得$x_{1}=1$，$x_{2}=\frac{1}{6}$
(2)
$4x^{2}-3x = 52$
两边同除以4：$x^{2}-\frac{3}{4}x=13$
配方：$x^{2}-\frac{3}{4}x+(\frac{3}{8})^{2}=13+(\frac{3}{8})^{2}$
即$(x-\frac{3}{8})^{2}=\frac{841}{64}$
开平方：$x-\frac{3}{8}=\pm\frac{29}{8}$
解得$x_{1}=4$，$x_{2}=-\frac{13}{4}$
其他方法：
(1) 因式分解法：$(6x-1)(x-1)=0$，解得$x_{1}=1$，$x_{2}=\frac{1}{6}$
(2) 因式分解法：$(4x+13)(x-4)=0$，解得$x_{1}=4$，$x_{2}=-\frac{13}{4}$
或公式法：对于$ax^{2}+bx+c=0$，用求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

1. 一般地,式子$b^{2}-4ac$叫做一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$根的判别式,通常用希腊字母“$\Delta$”表示它,即$\Delta=$$b^{2}-4ac$.

答案： $b^{2}-4ac$ $b^{2}-4ac$

2. 当$\Delta\geqslant0$时,方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$的实数根可写为$x=\frac {-b\pm \sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}$的形式,这个式子叫做一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$的求根公式.

答案： $x=\frac {-b\pm \sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}$

【例1】 不解方程,判断下列方程根的情况：
(1)$x^{2}+9 = 6x$； (2)$x^{2}+3x = -1$；
(3)$3x^{2}+3 = 2\sqrt{6}x$.

答案： 解
(1)方程化为$x^{2}-6x + 9 = 0$.
因为$\Delta=b^{2}-4ac= (-6)^{2}-4×1×9 = 0$,所以方程有两个相等的实数根.
(2)方程化为$x^{2}+3x + 1 = 0$.
因为$\Delta=b^{2}-4ac= 3^{2}-4×1×1 = 5＞0$,
所以方程有两个不等的实数根.
(3)方程化为$3x^{2}-2\sqrt{6}x + 3 = 0$.
因为$\Delta=b^{2}-4ac= (-2\sqrt{6})^{2}-4×3×3 = -12＜0$,
所以方程无实数根.

- 跟踪练习1 关于$x的一元二次方程9x^{2}-6x + c = 0$有两个相等的实数根,则$c = ($D).
A.$-9$
B.$4$
C.$-1$
D.$1$

答案： D

【例2】 用公式法解下列方程：
(1)$x^{2}-2\sqrt{2}x + 1 = 0$；
(2)$4x^{2}+4x - 1 = -10 - 8x$；
(3)$6x^{2}+4 = 2\sqrt{5}x$；
(4)$x^{2}-\sqrt{2}x= \frac{1}{2}$.

答案： 解
(1)因为$a = 1$,$b= -2\sqrt{2}$,$c = 1$,
所以$\Delta=b^{2}-4ac= (-2\sqrt{2})^{2}-4×1×1 = 8 - 4 = 4＞0$,
所以$x= \frac{-(-2\sqrt{2})\pm\sqrt{4}}{2×1}= \frac{2\sqrt{2}\pm2}{2}= \sqrt{2}\pm1$,即$x_{1}= \sqrt{2}+1$,$x_{2}= \sqrt{2}-1$.
(2)方程化为$4x^{2}+12x + 9 = 0$.
因为$a = 4$,$b = 12$,$c = 9$,
所以$\Delta=b^{2}-4ac= 12^{2}-4×4×9 = 0$,
所以$x= \frac{-12\pm0}{2×4}= -\frac{3}{2}$,
即$x_{1}= x_{2}= -\frac{3}{2}$.
(3)方程化为$6x^{2}-2\sqrt{5}x + 4 = 0$,
即$3x^{2}-\sqrt{5}x + 2 = 0$.
因为$a = 3$,$b= -\sqrt{5}$,$c = 2$,
所以$\Delta=(-\sqrt{5})^{2}-4×3×2= -19＜0$,
所以方程无实数根.
(4)方程化为$x^{2}-\sqrt{2}x-\frac{1}{2}= 0$.
因为$a = 1$,$b= -\sqrt{2}$,$c= -\frac{1}{2}$,
所以$\Delta=(-\sqrt{2})^{2}-4×1×(-\frac{1}{2})= 4＞0$,
所以$x= \frac{-(-\sqrt{2})\pm\sqrt{4}}{2×1}= \frac{\sqrt{2}\pm2}{2}$,
即$x_{1}= \frac{\sqrt{2}+2}{2}$,$x_{2}= \frac{\sqrt{2}-2}{2}$.