《2025年金学典同步解析与测评贵州人民出版社九年级数学上册人教版》

8. 如图,抛物线 $ y = x^{2} + bx + c $ 经过坐标原点,并与 $ x $ 轴交于点 $ A(2,0) $.

(1)求抛物线的解析式；
(2)写出顶点坐标及对称轴；
(3)若抛物线上有一点 $ B $,且 $ S_{\triangle OAB} = 3 $,求点 $ B $ 的坐标.

答案： 【解】
(1)把$(0,0),(2,0)$代入$y=x^{2}+bx+c,$得$\left\{\begin{array}{l} c=0,\\ 4+2b+c=0,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} b=-2,\\ c=0.\end{array}\right. $所以抛物线的解析式为$y=x^{2}-2x.$
(2)因为$y=x^{2}-2x=(x-1)^{2}-1,$所以顶点坐标为$(1,-1)$,对称轴为直线$x=1.$
(3)设点 B 的坐标为$(x,d),$则$\frac {1}{2}×2|d|=3,$解得$d=3$或$d=-3.$因为顶点纵坐标为-1,$-3＜-1,$所以$d=3,$所以$x^{2}-2x=3,$解得$x_{1}=3,x_{2}=-1,$所以点 B 的坐标为$(3,3)$或$(-1,3).$

9. 如图,抛物线 $ C_{1}: y = ax^{2} + bx + c $ 与 $ x $ 轴只有一个公共点 $ A(1,0) $,与 $ y $ 轴交于点 $ B(0,2) $,虚线为其对称轴,若将抛物线向下平移 2 个单位长度得到抛物线 $ C_{2} $,求图中两个阴影部分的面积和.

答案： 2