《2025年金学典同步解析与测评贵州人民出版社九年级数学上册人教版》

之前我们从一次函数的角度看一元一次方程,认识了一次函数与一元一次方程的联系,现在我们从二次函数的角度看一元二次方程,认识二次函数与一元二次方程的联系。

答案： 二次函数与一元二次方程存在上述联系。

求二次函数 $ y = ax^2 + bx + c (a \neq 0) $ 的图象与 $ x $ 轴的交点坐标,令 $ y = $0,即$ax^{2}+bx+c=0$,解关于 $ x $ 的一元二次方程即可求得交点横坐标。
(1) $ \Delta = b^2 - 4ac ＞ 0 \Leftrightarrow $ 一元二次方程有两个不等的实数根 $ \Leftrightarrow $ 抛物线与 $ x $ 轴有两个交点；
(2) $ \Delta = b^2 - 4ac = 0 \Leftrightarrow $ 一元二次方程有两个相等的实数根 $ \Leftrightarrow $ 抛物线与 $ x $ 轴有一个交点；
(3) $ \Delta = b^2 - 4ac ＜ 0 \Leftrightarrow $ 一元二次方程没有实数根 $ \Leftrightarrow $ 抛物线与 $ x $ 轴没有交点。

答案： 0 $ax^{2}+bx+c=0$
(1)两
(2)一
(3)没有交点

【例 1】 如图 22.2 - 1,已知二次函数 $ y = x^2 - 6x + n $ 的图象与 $ x $ 轴的一个交点坐标为 $ (1, 0) $,则另一个交点坐标为 (5, 0)。

答案： 解析 方法 1：因为二次函数 $ y = x^2 - 6x + n $ 的图象与 $ x $ 轴的一个交点坐标为 $ (1, 0) $,
所以 $ x = 1 $ 是关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 - 6x + n = 0 $ 的一个解,
所以 $ 1^2 - 6 × 1 + n = 0 $,解得 $ n = 5 $。
所以 $ x^2 - 6x + 5 = 0 $,解得 $ x_1 = 1 $,$ x_2 = 5 $。
所以二次函数 $ y = x^2 - 6x + n $ 的图象与 $ x $ 轴的另一个交点坐标为 $ (5, 0) $。
方法 2：因为 $ y = x^2 - 6x + n = (x - 3)^2 + n - 9 $,
所以二次函数 $ y = x^2 - 6x + n $ 图象的对称轴是直线 $ x = 3 $。
因为二次函数 $ y = x^2 - 6x + n $ 的图象与 $ x $ 轴的一个交点坐标为 $ (1, 0) $,
所以另一个交点坐标为 $ (5, 0) $。
答案 $ (5, 0) $

跟踪练习 1 已知二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的图象如图 22.2 - 2,则一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的解是(A)。

A.$ x_1 = - 3 $,$ x_2 = 1 $
B.$ x_1 = 3 $,$ x_2 = 1 $
C.$ x = - 3 $
D.$ x = - 2 $

答案： A