《2025年学习检测七年级数学上册华师大版河南专版》

10. 已知 $A = 2a^{2} - 5a + 1$,$B = a^{2} - 5a - 2$.
(1) 计算：当 $a = 0$ 时,$A = $1,$B = $$-2$；
当 $a = 1$ 时,$A = $$-2$,$B = $$-6$；
当 $a = -1$ 时,$A = $8,$B = $4.
(2) 猜想：无论 $a$ 为何值,$A$$＞$$B$ 始终成立(填“$＞$”“$＜$”或“$=$”).
(3) 请说明 (2) 中猜想的合理性.
$A-B=(2a^{2}-5a+1)-(a^{2}-5a-2)=2a^{2}-5a+1-a^{2}+5a+2=a^{2}+3$. 因为$a^{2}\geq0$,所以$a^{2}+3\geq3＞0$. 所以$A-B＞0$. 所以$A＞B$

答案：
(1) 1 $-2$ $-2$ $-6$ 8 4
(2) $＞$
(3) $A-B=(2a^{2}-5a+1)-(a^{2}-5a-2)=2a^{2}-5a+1-a^{2}+5a+2=a^{2}+3$. 因为$a^{2}\geq0$,所以$a^{2}+3\geq3＞0$. 所以$A-B＞0$. 所以$A＞B$

11. 当 $x = 1$ 时,代数式 $ax^{3} + bx + 7$ 的值为 4,求当 $x = -1$ 时,代数式 $ax^{3} + bx + 7$ 的值.

答案： 由$x=1$,得$a+b=-3$,$-a-b=3$. 当$x=-1$时,得$-a-b+7=10$

12. 阅读材料并完成题目.
材料一：我们可以将任意三位数记为 $\overline{abc}$(其中 $a$、$b$、$c$ 分别表示该数百位数字、十位数字和个位数字,且 $a \neq 0$),显然 $\overline{abc} = 100a + 10b + c$.
材料二：若在一个两位正整数 $N$ 的个位数字与十位数字之间添上数字 4,组成一个新的三位数,我们称这个三位数为 $N$ 的“明礼数”,如 36 的“明礼数”为 346；若将一个两位正整数 $M$ 加 4 后得到一个新数,我们称这个新数为 $M$ 的“修身数”,如 37 的“修身数”为 41.
(1) 30 的“明礼数”是340,“修身数”是34；
(2) 试说明：对任意一个两位正整数 $A$,其“明礼数”与“修身数”之差能被 9 整除.
设$A=\overline{ab}=10a+b(A＞0,0＜a＜9,0＜b＜9)$,则$A$的“明礼数”为$100a+40+b$,$A$的“修身数”为$10a+b+4$. $100a+40+b-(10a+b+4)=100a+40+b-10a-b-4=90a+36=9(10a+4)$. 因为$a$为1到9的自然数,所以$9(10a+4)$能被9整除. 所以对任意一个两位正整数$A$,其“明礼数”与“修身数”之差能被9整除

答案：
(1) 340 34
(2) 设$A=\overline{ab}=10a+b(A＞0,0＜a＜9,0＜b＜9)$,则$A$的“明礼数”为$100a+40+b$,$A$的“修身数”为$10a+b+4$. $100a+40+b-(10a+b+4)=100a+40+b-10a-b-4=90a+36=9(10a+4)$. 因为$a$为1到9的自然数,所以$9(10a+4)$能被9整除. 所以对任意一个两位正整数$A$,其“明礼数”与“修身数”之差能被9整除