《2025年能力培养与测试八年级数学上册人教版》

7. 把下列各式分解因式：
(1)$(m + 1)(m - 9)+8m$；
(2)$x^{2}(m - 2)+9y^{2}(2 - m)$；
(3)$(3p + q)^{2}-(p - 3q)^{2}$.

答案： 解：（1）$(m+1)(m-9)+8m=m^{2}-8m-9+8m=m^{2}-9=(m+3)(m-3)$.
（2）$x^{2}(m-2)+9y^{2}(2-m)=x^{2}(m-2)-9y^{2}(m-2)=(m-2)(x^{2}-9y^{2})=(m-2)(x+3y)(x-3y)$.
（3）$(3p+q)^{2}-(p-3q)^{2}$
$=(3p+q+p-3q)(3p+q-p+3q)$
$=(4p-2q)(2p+4q)$
$=4(2p-q)(p+2q)$.

8. 已知 $m$,$n$ 互为相反数,且 $(m + 2)^{2}-(n + 2)^{2}= 4$,求 $m$,$n$ 的值.

答案： 解：$\because(m+2)^{2}-(n+2)^{2}=4$，
$\therefore(m+2+n+2)(m+2-n-2)=4$，
即$(m+n+4)(m-n)=4$.
$\because m+n=0$，
$\therefore m-n=1$.
$\therefore m=\frac{1}{2}$，$n=-\frac{1}{2}$.

9. 求证：对于任何整数 $m$,多项式 $(4m + 5)^{2}-9$ 都能被 $8$ 整除.

答案： 证明：$(4m+5)^{2}-9$
$=(4m+5)^{2}-3^{2}$
$=(4m+8)(4m+2)$
$=8(m+2)(2m+1)$.
$\because m$是整数，
$\therefore(m+2)(2m+1)$也是整数.
$\therefore8(m+2)(2m+1)$能被8整除.
$\therefore$对于任何整数$m$，多项式$(4m+5)^{2}-9$都能被8整除.

10. 如图 17.2 - 1,边长为 $a$ 的大正方形中有一个边长为 $b$ 的小正方形,把图 17.2 - 1①中的阴影部分拼成一个长方形(如图 17.2 - 1②所示).

(1)上述操作能验证的等式是____.(请选择正确的一个选项)
A. $a^{2}-b^{2}= (a + b)(a - b)$
B. $a^{2}-2ab + b^{2}= (a - b)^{2}$
C. $a^{2}+ab = a(a + b)$
(2)请应用(1)中的等式计算：
$(1-\frac{1}{2^{2}})×(1-\frac{1}{3^{2}})×(1-\frac{1}{4^{2}})×…×(1-\frac{1}{99^{2}})×(1-\frac{1}{100^{2}})$.
(1)A
(2)$(1-\frac{1}{2^{2}})×(1-\frac{1}{3^{2}})×(1-\frac{1}{4^{2}})×\cdots×(1-\frac{1}{99^{2}})×(1-\frac{1}{100^{2}})$
$=(1-\frac{1}{2})×(1+\frac{1}{2})×(1-\frac{1}{3})×(1+\frac{1}{3})×(1-\frac{1}{4})×(1+\frac{1}{4})×\cdots×(1-\frac{1}{99})×(1+\frac{1}{99})×(1-\frac{1}{100})×(1+\frac{1}{100})$
$=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}×\frac{3}{4}×\frac{5}{4}×\cdots×\frac{98}{99}×\frac{100}{99}×\frac{99}{100}×\frac{101}{100}$
$=\frac{1}{2}×\frac{101}{100}$
$=\frac{101}{200}$.

答案： 解：（1）A
（2）$(1-\frac{1}{2^{2}})×(1-\frac{1}{3^{2}})×(1-\frac{1}{4^{2}})×\cdots×(1-\frac{1}{99^{2}})×(1-\frac{1}{100^{2}})$
$=(1-\frac{1}{2})×(1+\frac{1}{2})×(1-\frac{1}{3})×(1+\frac{1}{3})×(1-\frac{1}{4})×(1+\frac{1}{4})×\cdots×(1-\frac{1}{99})×(1+\frac{1}{99})×(1-\frac{1}{100})×(1+\frac{1}{100})$
$=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}×\frac{3}{4}×\frac{5}{4}×\cdots×\frac{98}{99}×\frac{100}{99}×\frac{99}{100}×\frac{101}{100}$
$=\frac{1}{2}×\frac{101}{100}$
$=\frac{101}{200}$.