《2025年能力培养与测试八年级数学上册人教版》

10. 【阅读材料】把多项式$am + an + bm + bn$分解因式。
解：原式$=(am + an)+(bm + bn)= a(m + n)+b(m + n)= (m + n)(a + b)$。
【解答问题】
(1)分解因式：$mb - 3mc + b^{2}-3bc= $$(b-3c)(m+b)$；
(2)已知$\triangle ABC三边的长分别为a$,$b$,$c$,且$a^{2}-5bc + 5ac - ab = 0$,判断$\triangle ABC$的形状。

答案： （1）$(b-3c)(m+b)$
（2）$\because a^{2}-5bc+5ac-ab=0$，
$\therefore a^{2}-ab+5ac-5bc=0$．
$\therefore a(a-b)+5c(a-b)=0$．
$\therefore (a-b)(a+5c)=0$．
$\because a$，$b$，$c$为$\triangle ABC$三边的长，
$\therefore a＞0$，$b＞0$，$c＞0$．
$\therefore a+5c＞0$，$a-b=0$．$\therefore a=b$．
$\therefore \triangle ABC$是等腰三角形．

11. 计算：$a + 1 + a(a + 1)+a(a + 1)^{2}+… + a(a + 1)^{99}$。

答案： 解：原式$=(a+1)[1+a+a(a+1)+a(a+1)^{2}+\cdots +a(a+1)^{98}]$
$=(a+1)^{2}[1+a+a(a+1)+a(a+1)^{2}+\cdots +a(a+1)^{97}]$
$=(a+1)^{3}[1+a+a(a+1)+a(a+1)^{2}+\cdots +a(a+1)^{96}]$
……
$=(a+1)^{100}$．

12. 已知$x^{2}+3x - 1 = 0$,求$x^{3}+5x^{2}+5x + 2023$的值。

答案： 解：$\because x^{2}+3x-1=0$，
$\therefore x^{3}+5x^{2}+5x+2023$
$=x(x^{2}+3x-1)+2(x^{2}+3x-1)+2025$
$=0+0+2025$
$=2025$．