《2025年能力培养与测试八年级数学上册人教版》

10. 如图 15.3 - 24,在边长为 $4$ 的等边三角形 $ABC$ 中,$BD = CE$,$AD$ 与 $BE$ 相交于点 $P$.
(1)求证$\triangle ABD\cong\triangle BCE$；
(2)若四边形 $PDCE$ 的面积为 $2$,求点 $P$ 到 $AB$ 的距离.

答案： （1）证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABD=∠C=60°.
在△ABD和△BCE中，$\left\{\begin{array}{l} AB=BC,\\ ∠ABD=∠C,\\ BD=CE,\end{array}\right. $
∴△ABD≌△BCE（SAS）.
（2）解：
∵△ABD≌△BCE，
∴$S_{\triangle ABD}=S_{\triangle BCE}$.
∵四边形PDCE的面积为2，
∴$S_{\triangle ABP}=S_{\triangle ABD}-S_{\triangle BDP}=S_{\triangle BCE}-S_{\triangle BDP}=S_{四边形PDCE}=2$.
设点P到AB的距离为h，则
$S_{\triangle ABP}=\frac {1}{2}\cdot AB\cdot h=2$，即$\frac {1}{2}× 4h=2$.
∴h=1，
即点P到AB的距离是1.

11. 如图 15.3 - 25,在等边三角形 $ABC$ 中,$D$ 为 $AC$ 上一点,$E$ 为 $BC$ 延长线上一点,且 $AD = CE$,连接 $DB$,$DE$.
(1)求证 $DB = DE$.
(2)若点 $D$ 在 $AC$ 的延长线上,(1)中的结论是否仍成立？若成立,请画出图形,并证明；若不成立,说明理由.

答案： （1）证明：过点E作EF//BA交AC的延长线于点F，如图.
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠ACB=60°，AB=AC.
∴∠F=60°，∠ECF=60°.
∴△CEF为等边三角形.
∴EF=CE=CF.
又AD=CE，
∴AD=EF=CF.
∴AC=DF=AB.
在△ABD和△FDE中，$\left\{\begin{array}{l} AB=FD,\\ ∠A=∠F,\\ AD=FE,\end{array}\right. $
∴△ABD≌△FDE（SAS）.
∴DB=DE.
（2）解：如图，（1）中的结论仍成立，即有DB=DE. 证明如下：
过点E作EF//BA交AC的延长线于点F.
和（1）一样可证明△CEF为等边三角形，
∴AD=CE=EF=CF.
∴DF=AC=AB.
易证得△ABD≌△FDE，
∴DB=DE.

12. 如图 15.3 - 26,在等边三角形 $ABC$ 的外侧作直线 $AP$,点 $C$ 关于直线 $AP$ 对称的点为点 $D$,连接 $AD$,$BD$,其中 $BD$ 交直线 $AP$ 于点 $E$.
(1)依题意补全图形；
(2)若$\angle PAC = 20^{\circ}$,求$\angle AEB$ 的度数；
(3)连接 $CE$,写出 $AE$,$BE$,$CE$ 之间的数量关系,并证明你的结论.

答案： （1）如图所示.
（2）在等边三角形ABC中，
AC=AB，∠BAC=60°.
由对称可知，AC=AD，∠PAC=∠PAD，
∴AB=AD.
∴∠ABD=∠D.
∵∠PAC=20°，
∴∠PAD=20°.
∴∠BAD=∠BAC+∠PAC+∠PAD=100°.
∴∠D=$\frac {1}{2}(180^{\circ }-∠BAD)=40^{\circ }$.
∴∠AEB=∠D+∠PAD=60°.
（3）CE+AE=BE.
证明：如图，在BE上取点M，使ME=AE.
在等边三角形ABC中，
AC=AB，∠BAC=60°.
由对称可知AC=AD，∠EAC=∠EAD.
设∠EAC=∠EAD=x.
∵AD=AC=AB，
∴∠D=$\frac {1}{2}(180^{\circ }-∠BAC-2x)=60^{\circ }-x$，
∴∠AEB=60°-x+x=60°.
∴△AME为等边三角形.
∴∠MAE=60°，AM=AE.
∴∠BAC-∠MAC=∠MAE-∠MAC，
即∠BAM=∠CAE.
在△AEC和△AMB中，$\left\{\begin{array}{l} AE=AM,\\ ∠CAE=∠BAM,\\ AC=AB,\end{array}\right. $
∴△AEC≌△AMB（SAS）.
∴CE=BM.
∴CE+AE=BM+ME=BE.