《2025年能力培养与测试八年级数学上册人教版》

9. 把一张长方形纸片沿对角线折叠,使折叠后的图形如图 15.1 - 4 所示. 若$\angle BAC = 35^{\circ}$,则$\angle CBD$的度数为$20°$.

答案： $20°$

10. 如图 15.1 - 5,在$3×3$的正方形格纸中,格线的交点称为格点,以格点为顶点的三角形称为格点三角形,图中$\triangle ABC$是一个格点三角形.

(1)请在上面每一个图中作出一个与$\triangle ABC$成轴对称的格点三角形.(不能重复)
(2)在这个$3×3$的正方形格纸中,与$\triangle ABC$成轴对称的格点三角形最多有______个.

答案：
（1）（答案不唯一，画三个即可）

（2）6

11. 如图 15.1 - 6,$O为\triangle ABC$内部一点,$OB = 3$,$P$,$R为点O分别以直线AB$,$BC$为对称轴的对称点.
(1)请指出当$\angle ABC$是多少度时,会使得$PR的长度等于6$? 并说明理由.
(2)判断当$\angle ABC$不是(1)中的度数时,$PR的长度是小于6$,还是大于$6$?

答案：
（1）当$\angle ABC=90°$时，$PR=6$.
理由如下：如图，连接 $PO$，$PB$，$RO$，$BR$，$PO$交$AB$于点$E$，$RO$交$BC$于点$F$.

$\because P$，$R$为点$O$分别关于直线$AB$，$BC$对称的对称点，
$\therefore OE=PE$，$BE\perp OP$，$OF=RF$，$BF\perp OR$.
在$\triangle OBE$和$\triangle PBE$中，$\begin{cases} BE=BE, \\ \angle BEO=\angle BEP, \\ OE=PE, \end{cases}$
$\therefore \triangle OBE\cong\triangle PBE$（SAS）.
$\therefore PB=OB=3$.
同理可得，$RB=OB=3$.
当$P$，$B$，$R$在同一条直线上时，$PB+RB=6$.
由$\triangle OBE\cong\triangle PBE$，可知$\angle OBE=\angle PBE$.
由$\triangle RBF\cong\triangle OBF$，可知$\angle RBF=\angle OBF$.
$\therefore \angle OBE+\angle OBF=\angle PBE+\angle RBF$.
$\therefore \angle ABC=90°$.
（2）$PR$的长度小于6.