《2025年能力培养与测试八年级数学上册人教版》

9. 如图15.1-14,点D,E在△ABC的边BC上,AD= AE,BD= CE,求证AB= AC.

答案：
证明:过点A作AF⊥DE，垂足为F，如图.
　　　　　　　
∴∠AFD=∠AFE=90°.
　在Rt△ADF和Rt△AEF中，$\left\{\begin{array}{l} AD=AE,\\ AF=AF,\end{array}\right. $
∴Rt△ADF≌Rt△AEF(HL).
∴DF=EF.
∵BD=CE,
∴BD+DF=CE+EF,即BF=CF.
∵AF⊥DE,
∴AF垂直平分BC.
∴AB=AC.

10. 如图15.1-15,P是∠AOB内一点,OP= 5 cm,点P与点C关于射线OA对称,点P与点D关于射线OB对称,连接CD,交OA于点E,交OB于点F,连接PE,PF,当△PEF的周长是5 cm时,∠AOB的度数是30°.

答案： 30°

11. 如图15.1-16,在△ABC中,AB= 8,AC= 4,G为BC的中点,DG⊥BC交∠BAC的平分线于点D,DE⊥AB,垂足为E,DF⊥AC交AC的延长线于点F.
(1)求证BE= CF；
(2)求AE的长.

答案：
(1)证明:连接DC,DB(图略),
∵DG⊥BC，G为BC的中点，
∴DB=DC.
∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB,
DF⊥AC,
∴DE=DF,∠AED=∠BED=∠AFD=90°.
在Rt△DBE和Rt△DCF中，$\left\{\begin{array}{l} DB=DC,\\ DE=DF,\end{array}\right. $
∴Rt△DBE≌Rt△DCF(HL).
∴BE=CF.
(2)解:在Rt△ADE和Rt△ADF中，$\left\{\begin{array}{l} AD=AD,\\ DE=DF,\end{array}\right. $
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL).
∴AE=AF.
∴AC+CF=AB−BE.
∵AB=8,AC=4,
∴4+BE=8−BE.
∴BE=2.
∴AE=AB−BE=8−2=6.