《2025年能力培养与测试八年级数学上册人教版》

15.1 如图 15-1,在$\triangle ABC$中,边$AB的垂直平分线分别交AB$,$BC于点M$,$D$,边$AC的垂直平分线分别交AC$,$BC于点N$,$E$,$MD$,$NE相交于点O$,连接$BO$,$CO$.
(1)试判断点$O是否在BC$的垂直平分线上,并说明理由；
(2)连接$AD$,$AE$,若$\triangle ADE的周长为8$,求$BC$的长.

答案： 15.1解:
(1)点O在BC的垂直平分线上.理由如下:
连接AO(图略).
∵OM是AB的垂直平分线，
∴AO=BO.
∵ON是AC的垂直平分线，
∴AO=CO.
∴BO=CO.
∴点O在BC的垂直平分线上.
(2)
∵DM是AB的垂直平分线，
∴AD=BD.
∵EN是AC的垂直平分线，
∴AE=CE.
∵AD+DE+AE=8，
∴BD+DE+CE=8.
∴BC=8.

15.2 如图 15-2,在平面直角坐标系中,$A(2,4)$,$B(3,1)$,$C(-2,-1)$.
(1)在图中作出$\triangle ABC关于x轴对称的图形\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$；
(2)写出点$C_{1}$的坐标；
(3)求$\triangle ABC$的面积.

答案：
15.2解:
(1)如图所示，△A₁B₁C₁即为所求.

(2)点C₁的坐标为(-2，1).
(3)S△ABC=5×5-$\frac{1}{2}$×4×5-$\frac{1}{2}$×1×3-$\frac{1}{2}$×2×5=$\frac{17}{2}$.

15.3 如图 15-3,已知在等边三角形$ABC$中,$D是AC$的中点,$E是BC$延长线上的一点,且$CE= CD$,$DM\perp BC$,垂足为$M$,求证：$M是BE$的中点.

答案：
15.3证明:如图，连接BD.

∵△ABC是等边三角形，且D是AC的中点，
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$×60°=30°，∠ACB=60°.
∵CE=CD，
∴∠CDE=∠E.
又∠ACB=∠CDE+∠E，
∴∠E=30°.
∴∠DBC=∠E=30°.
∴BD=ED.
∴△BDE为等腰三角形.
又DM⊥BC，
∴M是BE的中点.