《2025年能力培养与测试八年级数学上册人教版》

16.1 已知 $ 2^{a}= 3 $,$ 2^{b}= 6 $,$ 2^{c}= 12 $,现给出 3 个数 $ a $,$ b $,$ c $ 之间的三个关系式：
① $ a + c = 2b $；② $ b = a + 2 $；③ $ a + b = 2c - 3 $.
其中正确的关系式是①③.(填序号)

答案： ①③

16.2 已知式子 $ (mx - 3)(2x + 4) - x^{2} - n $ 化简后不含 $ x^{2} $ 项和常数项.
(1)求 $ m $,$ n $ 的值；
(2)求 $ (2m + n)^{2} - (m - 2n)(m + 2n) - 3m(m - n) $ 的值.

答案： 解：（1）$(mx-3)(2x+4)-x^{2}-n$
$=2mx^{2}+4mx-6x-12-x^{2}-n$
$=(2m-1)x^{2}+(4m-6)x+(-12-n)$．
∵化简后不含$x^{2}$项和常数项，
$\therefore 2m-1=0,-12-n=0$．
$\therefore m=\frac {1}{2},n=-12$．
（2）原式$=4m^{2}+4mn+n^{2}-m^{2}+4n^{2}-3m^{2}+3mn=7mn+5n^{2}$．
当$m=\frac {1}{2},n=-12$时，
原式$=7×\frac {1}{2}×(-12)+5×(-12)^{2}=678$．

16.3 阅读下列文字：我们知道,图形是一种重要的数学语言,我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观,形少数时难入微.”对于一个图形,通过不同的方法计算图形的面积,就可以得到一个数学恒等式.
例如,由图 16 - 1①得到：$ (a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2} $.
基于此,请回答下列问题：
(1)类似图 16 - 1①表示的数学等式,写出图 16 - 1②表示的数学等式：$(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc$；
(2)小南同学用图 16 - 1③中的 $ x $ 张边长为 $ a $ 的正方形,$ y $ 张长、宽分别为 $ b $,$ a $ 的长方形,$ z $ 张边长为 $ b $ 的正方形,拼出一个面积为 $ (a + 2b)(2a + b) $ 的长方形,求 $ x + y + z $ 的平方根；
(3)已知：$ (2025 - x)^{2} + (x - 2024)^{2} = 7 $,求 $ (2025 - x)(x - 2024) $ 的值.

答案： 解：（1）$(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc$
（2）$\because (a+2b)(2a+b)=2a^{2}+5ab+2b^{2},$
$\therefore x=2,y=5,z=2$．
$\therefore x+y+z=2+5+2=9$．
∴$x+y+z$的平方根是$\pm 3$．
（3）令$a=2025-x,b=x-2024,$
则$a+b=2025-x+x-2024=1$．
$\because (2025-x)^{2}+(x-2024)^{2}=7,$
$\therefore a^{2}+b^{2}=7$．
$\therefore 2ab=(a+b)^{2}-(a^{2}+b^{2})=1-7=-6$．
$\therefore ab=-3$．
$\therefore (2025-x)(x-2024)=-3$．