《2025年能力培养与测试八年级数学上册人教版》

9. 如图14.3 - 9,已知△ABC的周长是21,BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC,垂足为D,且OD = 3,则△ABC的面积是$\frac{63}{2}$.

答案： $\frac{63}{2}$

10. 如图14.3 - 10,OM平分∠POQ,MA⊥OP,MB⊥OQ,垂足分别为A,B,连接AB,AB与OM相交于点N. 求证∠OAB = ∠OBA.

答案： 证明:　$\because OM$平分$\angle POQ$，$MA\perp OP$，$MB\perp OQ$，
$\therefore MA=MB$，$\angle POM=\angle QOM$，$\angle MAO=\angle MBO=90^{\circ }$.
在$Rt\triangle AOM$和$Rt\triangle BOM$中，$\left\{\begin{array}{l} OM=OM,\\ MA=MB,\end{array}\right.$
$\therefore Rt\triangle AOM\cong Rt\triangle BOM$（HL）.
$\therefore OA=OB$.
在$\triangle AON$和$\triangle BON$中，$\left\{\begin{array}{l} OA=OB,\\ \angle AON=\angle BON,\\ ON=ON,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle AON\cong \triangle BON$（SAS）.
$\therefore \angle OAB=\angle OBA$.

11. 如图14.3 - 11,P为∠ABC的平分线上的一点,点D和点E分别在AB和BC上,且BD ＜ BE,PD = PE,探究∠BDP与∠BEP的数量关系,并给予证明.

答案： 解:$\angle BDP+\angle BEP=180^{\circ }$，
证明:如图，过点P作$PM\perp AB$，$PN\perp BC$，垂足分别为M，N.
则$\angle PMD=\angle PNE=90^{\circ }$.
$\because BP$平分$\angle ABC$，$\therefore PM=PN$.
在$Rt\triangle DPM$和$Rt\triangle EPN$中，$\left\{\begin{array}{l} PD=PE,\\ PM=PN,\end{array}\right.$
$\therefore Rt\triangle DPM\cong Rt\triangle EPN$（HL）.
$\therefore \angle ADP=\angle BEP$.
$\because \angle BDP+\angle ADP=180^{\circ }$，
$\therefore \angle BDP+\angle BEP=180^{\circ }$.

12. 如图14.3 - 12,OB平分∠MON,A为线段OB的中点,AE⊥ON,垂足为E,AE = 3,D为OM上的一个动点,BC//OM,交DA的延长线于点C,求线段CD的长的最小值.

答案： 解:$\because BC// OM$，$\therefore \angle DOA=\angle B$.
$\because A$为线段OB的中点，$\therefore AB=AO$.
在$\triangle ACB$和$\triangle ADO$中，$\left\{\begin{array}{l} \angle B=\angle DOA,\\ AB=AO,\\ \angle BAC=\angle OAD,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle ACB\cong \triangle ADO$（ASA）.
$\therefore AC=AD$.$\therefore CD=2AD$.
$\therefore$当线段AD的长的值最小时，线段CD的长的值最小.
当$AD\perp OM$时，线段AD的长的值最小.
$\because OB$平分$\angle MON$，$AD\perp OM$，$AE\perp ON$，
$\therefore AD=AE=3$.$\therefore CD=2AD=6$，
即线段CD的长的最小值为6.