《2025年能力培养与测试八年级数学上册人教版》

1.(北京东城期末)下列各式计算正确的是(C).
A.$ a^{3} \cdot a^{2} = a^{6} $
B.$ (a^{3})^{2} = a^{5} $
C.$ a^{6} ÷ a^{2} = a^{4} $
D.$ (2a^{2}b)^{3} = 2a^{6}b^{3} $

答案： C

2.(山东东营期末)下列各式中,结果错误的是(C).
A.$ (x + 2)(x - 3) = x^{2} - x - 6 $
B.$ (x - 4)(x + 4) = x^{2} - 16 $
C.$ (2x + 3)(2x - 6) = 2x^{2} - 3x - 18 $
D.$ (2x - 1)(2x + 2) = 4x^{2} + 2x - 2 $

答案： C

3. 若 $ (mx + 3)(x^{2} - x - n) $ 的运算结果中不含 $ x^{2} $ 项和常数项,则 $ m $,$ n $ 的值分别为(D).
A.$ m = 0 $,$ n = 0 $
B.$ m = 0 $,$ n = 3 $
C.$ m = 3 $,$ n = 1 $
D.$ m = 3 $,$ n = 0 $

答案： D

4.(河北石家庄期末)若 $ 9^{m} = 4 $,$ 27^{n} = 2 $,则 $ 3^{2m - 3n} = $2.

答案： 2

5. 已知 $ a + \frac{1}{a} = 5 $,则 $ a^{2} + \frac{1}{a^{2}} = $23.

答案： 23

6. 如图 16 - 2,从边长为 $ a + b $ 的正方形纸片中剪去一个边长为 $ a - b(a ＞ b ＞ 0) $ 的正方形,剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形(不重叠无缝隙),则该长方形的面积是4ab.

答案： 4ab

7.(北京朝阳期末)已知 $ x^{2} + 2x - 2 = 0 $,求 $ x(x - 2) + (x + 3)^{2} $ 的值.

答案： 解：$x(x-2)+(x+3)^{2}$
$=x^{2}-2x+x^{2}+6x+9$
$=2x^{2}+4x+9$．
$\because x^{2}+2x-2=0,$
$\therefore x^{2}+2x=2$．
∴原式$=2x^{2}+4x+9=2(x^{2}+2x)+9=13$．

8.(四川乐山期末)甲、乙两个长方形,其边长如图 16 - 3 所示 $ (m ＞ 0) $,其面积分别为 $ S_{1} $,$ S_{2} $.

(1)比较 $ S_{1} $ 与 $ S_{2} $ 的大小；
(2)若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和,设该正方形的面积为 $ S_{3} $,试探究：$ S_{3} $ 与 $ 2(S_{1} + S_{2}) $ 的差是否为定值？若为定值,请求出该值；如果不是,请说明理由.

答案： 解：（1）根据长方形的面积公式，得
$S_{1}=(m+5)(m+1)=m^{2}+6m+5,$
$S_{2}=(m+4)(m+2)=m^{2}+6m+8$．
$\because S_{1}-S_{2}=m^{2}+6m+5-(m^{2}+6m+8)$
$=m^{2}+6m+5-m^{2}-6m-8=-3＜0,$
$\therefore S_{1}\lt S_{2}$．
（2）由题意，得正方形的周长$C=2(m+5+m+1+m+4+m+2)=8m+24$．
∴正方形的边长为$C÷4=(8m+24)÷4=2m+6$．
$\therefore S_{3}=(2m+6)(2m+6)=4m^{2}+24m+36$．
$\therefore S_{3}-2(S_{1}+S_{2})$
$=4m^{2}+24m+36-2(m^{2}+6m+5+m^{2}+6m+8)$
$=4m^{2}+24m+36-2(2m^{2}+12m+13)$
$=10$．
$\therefore S_{3}$与$2(S_{1}+S_{2})$的差是定值，定值为10．