《2025年能力培养与测试八年级数学上册人教版》

4. 下列三角形是等边三角形的是(D).
①有两个角等于 $60^{\circ}$ 的三角形；
②有一个角等于 $60^{\circ}$ 的等腰三角形；
③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；
④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.
A.①②③
B.①②④
C.①③
D.①②③④

答案： D

5. 已知等边三角形 $ABC$ 的边长为 $5$,点 $D$ 为直线 $BC$ 上一点,$BD = 1$,$DE// AB$,交直线 $AC$ 于点 $E$,则 $DE$ 的长为4或6.

答案： 4或6

6. 如图 15.3 - 20,点 $B$,$C$,$D$ 在同一条直线上,$\triangle ABC$,$\triangle ADE$ 均为等边三角形. 若 $CE = 15\ cm$,$CD = 6\ cm$,则 $AC=$9$cm$,$\angle ECD$ 的度数为60°.

答案： 9 60°

7. 如图 15.3 - 21,已知$\triangle ABC$ 和$\triangle BDE$ 都是等边三角形. 求证 $AE = CD$.

答案： 证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABE=60°.
∵△BDE是等边三角形，
∴BE=BD，∠DBE=60°.
∴∠ABE=∠DBE.
在△ABE和△CBD中，$\left\{\begin{array}{l} AB=CB,\\ ∠ABE=∠CBD,\\ BE=BD,\end{array}\right. $
∴△ABE≌△CBD（SAS）.
∴AE=CD.

8. 如图 15.3 - 22,$C$ 为线段 $AE$ 上一动点(不与点 $A$,$E$ 重合),在 $AE$ 同侧分别作等边三角形 $ABC$ 和等边三角形 $CDE$,$AD$ 与 $BE$ 交于点 $O$,$AD$ 与 $BC$ 交于点 $P$,$BE$ 与 $CD$ 交于点 $Q$,连接 $PQ$. 则在下列五个结论中,恒成立的结论有①②③⑤.(填序号)
① $AD = BE$；② $PQ// AE$；③ $AP = BQ$；④ $DE = DP$；⑤ $\angle AOB = 60^{\circ}$.

答案： ①②③⑤

9. 如图 15.3 - 23,已知等边三角形 $ABC$ 的边长为 $3$,过 $AB$ 边上一点 $P$ 作 $PE\perp AC$,垂足为 $E$,$Q$ 为 $BC$ 延长线上一点,取 $CQ = PA$,连接 $PQ$,交 $AC$ 于点 $M$,则 $EM$ 的长为1.5.

答案： 1.5